На рисунке 192 ABCD — прямоугольник, MNPK — квадрат. Докажите, что NP \\ AD, АВ \\ РК.

ответ к заданию по геометрии

 

Для начала, давай разберемся с обозначениями на рисунке. У нас есть прямоугольник ABCD и квадрат MNPK. Для более ясного понимания, обозначим углы прямоугольника: угол A, угол B, угол C и угол D.

Теперь перейдем к доказательству первой части вопроса, а именно NP \\ AD. Для этого нам понадобится свойство параллелограмма под названием "диагонали разделяются пополам". В параллелограмме диагонали (линии, соединяющие противоположные вершины) всегда делятся пополам. То есть, если отрезок разделяется на две равные части, одна часть будет равна другой.

В нашем случае, NP является диагональю прямоугольника ABCD, и мы должны доказать, что она делит сторону AD пополам.

Давай разделим NP и AD на две равные части. Обозначим точку, в которой NP пересекает сторону AD, как точку X. Также, обозначим точку пересечения диагонали NP с боковой стороной BC как точку Y.

Теперь давай рассмотрим треугольник ANY. В этом треугольнике у нас есть две равные стороны: NY (потому что это половина стороны NP) и XY (потому что это половина стороны AD).

Отсюда следует, что угол ANY равен углу YXA (у нас есть две равные стороны, следовательно углы при них равны).

Теперь давай рассмотрим треугольник NCB. В этом треугольнике у нас есть две вертикальные углы, угол CYA и угол CNY, которые являются вертикальными углами и, таким образом, они равны.

Теперь, если мы посмотрим на треугольник ANY, у нас уже есть две равные стороны (NY и XY) и равные углы (ANY и YXA), что делает этот треугольник равнобедренным.

Согласно свойству равнобедренных треугольников, у нас снова будут два равных угла в треугольнике ANY: угол ANY и угол YNA.

Но угол YNA и угол CNY это вертикальные углы в треугольнике NCB, а по свойству вертикальных углов они тоже равны.

Таким образом, у нас имеются два равных угла: угол CNY и угол ANY.

На основании свойства параллельных линий, угол CNY и угол ANY являются чередующимися и они равны, когда параллельные линии пересекаются двумя прямыми линиями.

Следовательно, NP параллельна стороне AD.

Теперь перейдем ко второй части вопроса, доказательству того, что АВ \\ РК.

Для этого нам пригодится свойство квадрата, которое гласит, что диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

В нашем случае, диагонали квадрата MNPK - это линия NP и линия MK.

Как мы уже доказали, NP является подразделением стороны AD пополам. Раз NP делит сторону AD пополам, то NP также делит сторону AB пополам. Поэтому, точка пересечения диагоналей квадрата, которой мы обозначили как точку O, делит сторону AB пополам. Следовательно, AB \\ РК.

Таким образом, мы доказали, что NP \\ AD и АВ \\ РК, используя свойства параллелограмма и квадрата.