На рисунке 178 МК = КЕ, ∠NMK = ∠FMK, ∠MNK = ∠ENK. Докажите, что прямые АВ и CD параллельны.

решение задания по геометрии
 

Для доказательства того, что прямые AB и CD параллельны, мы можем использовать свойства углов и параллельных линий.

Дано: На рисунке 178 МК = КЕ, ∠NMK = ∠FMK, ∠MNK = ∠ENK.

Чтобы доказать, что прямые AB и CD параллельны, мы можем использовать свойство взаимной параллельности, которое говорит, что если две прямые пересекаются двумя параллельными прямыми, то они также параллельны между собой.

Шаг 1: Рассмотрим треугольники AМК и FКЕ. У нас есть МК = КЕ (дано), а также ∠NMК = ∠FМК (дано). Это означает, что треугольники AМК и FКЕ подобны по стороне-углу-стороне (SAS).

Шаг 2: Из подобия треугольников AМК и FКЕ следует, что отношение длин сторон AM и FK равно отношению длин сторон КМ и КЕ. Мы можем записать это как:

AM/FK = KM/KE. ------ (1)

Шаг 3: Аналогично, рассмотрим треугольники BNM и EKM. У нас есть ∠BНМ = ∠EКМ (согласно условию). Это означает, что треугольники BNM и EKM подобны по углу-стороне-углу (ASU).

Шаг 4: Из подобия треугольников BNM и EKM следует, что отношение длин сторон BN и EK равно отношению длин сторон НМ и КМ. Мы можем записать это как:

BN/EK = NM/KM. ------ (2)

Шаг 5: Используя теорему Карлоттеса, мы знаем, что если два треугольника подобны, то отношение длин любых двух соответствующих сторон будет одинаковое. Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

AM/FK = BN/EK

Шаг 6: Мы можем сократить это уравнение, используя отношения, описанные в шагах 2 и 4:

KM/KE = NM/KM

Шаг 7: Умножим обе стороны уравнения на KM, чтобы избавиться от дробей:

KM^2 = KE * NM

Шаг 8: Теперь рассмотрим треугольники CDM и ENK. У нас есть ∠CDМ = ∠EKМ (согласно условию). Это означает, что треугольники CDM и ENK подобны по углу-стороне-углу (ASU).

Шаг 9: Из подобия треугольников CDM и ENK следует, что отношение длин сторон CD и EK равно отношению длин сторон DM и КM. Мы можем записать это как:

CD/EK = DM/KM. ------ (3)

Шаг 10: Используя теорему Карлоттеса снова, мы можем сделать следующие выводы:

BN/EK = CD/EK.

Шаг 11: Сократим это уравнение, используя отношения, описанные в шагах 5 и 9:

AM/FK = CD/EK.

Шаг 12: Мы знаем, что AM/FK = BN/EK, поэтому BN/EK = CD/EK.

Шаг 13: Умножим обе стороны уравнения на EK, чтобы избавиться от дробей:

BN = CD

Шаг 14: Из шага 13 следует, что стороны BN и CD равны. Это означает, что прямые AB и CD параллельны, так как соединяются корреспондирующие точки на равных сторонах параллельных линий.

Таким образом, мы доказали, что прямые АВ и CD параллельны, используя свойства подобных треугольников и параллельных линий.