На доске написано 12. Далее в течение часа каждую минуту имеющееся число либо умножают, либо делят либо на 2 или на 3, и результат

После каждой операции меняется четность общего количества двоек и троек в разложении на простые множители числа на доске. Вначале это число нечетно, т.к. 12 = 2 × 2 × 3 (равно трем).
Поэтому через 60 операций (минут) оно должно быть снова нечетным, но в разложении 54 = 2 × 3 × 3 × 3 четыре множителя. Противоречие показывает, что превращение 12 в 54 за четное количество ходов, в том числе за 60 операций, невозможно