На доске было написано равенство. Дежурный по классу успел стереть некоторые цифры (сколько цифр он стер в каждом из чисел, неизвестно).

Ответ: не могло.
Решение. Уменьшим сомножители, заменив нулями все цифры, начиная с третьей слева. Тогда и произведение уменьшится. Получим
110...0 х 120...0 = 1320...0 < 123...45.
Увеличим теперь сомножители числа и тоже перемножим: 200...0 х 200...0 =4000...0> 123...45.
Число жирных нулей справа и слева от знака равенства одинаково в обоих произведениях, поэтому произведения имеют одинаковое число разрядов. Но тогда и произведение исходных чисел имело то же число разрядов и должно было начинаться на трехзначное число от 132 до 400. Значит, на 123 оно начинаться не могло.