Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно, 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение
 treug.gif

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике. В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC - общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора   

AC2 + CD2 = AD2
Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4x2 + y2 = 9  
Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:
EC2 + BC2  = BE2
Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x2 + 4y2  = 16
Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений.  
4x2 + y2 = 9
x2 + 4y2  = 16

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения).
5x2 + 5y2 = 25   
5( x2 + y2 ) = 25
x2 + y2 = 5

Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора   
AC2 + BC2  = AB2

Так как длина каждого из катетов нам "известна", мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4x2 + 4y2 = AB2
Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки       
4 ( x2 + y2 ) = AB2   
Чему равно  x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), поэтому просто подставим значения вместо  x2 + y2

AB2 = 4 х 5
AB2 = 20
AB = √20 = 2√5   
Ответ: длина гипотенузы равна 2√5