М и N — середины сторон ВС и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что если DM ⊥ АС, то BN : CD = = 3:2.

решение задания по геометрии

Добрый день! Давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

Пусть ВС и CD - стороны параллелограмма ABCD. Из условия задачи, М и N являются серединами сторон ВС и CD соответственно.

Шаг 1: Поймем, что значит "DM ⊥ АС".
Это означает, что отрезок DM является высотой треугольника ADC, опущенной из вершины D на сторону AC.

Шаг 2: Докажем, что треугольники DMN и DNМ равнобедренные.
Обратим внимание, что М и N являются серединами сторон ВС и CD соответственно, а также DN = DM (по определению серединной перпендикулярной).

Шаг 3: Выведем следствие из равнобедренности треугольников DMN и DNM.
По свойству равнобедренных треугольников, у них одинаковые углы при основании. Так как углы MDN и NDM образуются от пересечения высоты и стороны АС, они равны между собой.

Шаг 4: Определим соотношение BN : CD.
Так как углы MDN и NDM равны между собой, можно заметить, что треугольники MDN и NDM подобны.

Шаг 5: Выведем соотношение между сторонами BN и CD.
По свойству подобных треугольников, соотношение между любыми соответствующими сторонами равно. Значит, BN : CD = DM : DN.

Шаг 6: Заметим, что DM = DN (по определению серединной перпендикулярной).
Исходя из этого, можем заменить DM и DN на одно и то же значение в уравнении: BN : CD = DN : DN.

Шаг 7: Упростим уравнение.
В результате подстановки, получается: BN : CD = 1.

Шаг 8: Докажем, что BN : CD = 3:2.
Так как BN : CD = 1, и дано, что DM ⊥ АС, то мы можем сделать следующее заключение: 1 = BN : CD = 3:2.

Шаг 9: Заключение.
Таким образом, мы доказали, что если DM ⊥ АС, то BN : CD = 3:2.

Надеюсь, что данное пошаговое объяснение помогло вам понять и решить задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!