Лимит по материалу - 120 000 метров; из них выпускается 2 вида продукции: школьное и дошкольное детские пальто. Норма расхода на выпуск школьного пальто - 2,2 м, дошкольного пальто – 1,5 м. Планируемый выпуск школьного пальто - 45 000 шт., дошкольного пальто – 35 000 шт. Прибыль, получаемая от производства школьного пальто - 40 д.е.; дошкольного пальто – 20 д. е. Затраты времени на изготовление школьного пальто - 1,2 часа; дошкольного пальто – 1 час. Количество рабочих – 37 человек; фонд рабочего времени (ФРВ) 1 рабочего в год – 1942 часа. Определить объемы выпуска продукции, обеспечивающие максимальный размер прибыли и минимальные затраты времени на их изготовление (путём составления уравнений целевых функций).

Уравнение целевой функции (L) и система ограничений по оптимизации прибыли (если нет ограничений по качеству товара) имеет вид:

L = ∑Пj × X j
j =1
==> max( 16)

∑aij × x j j =1
≤ ωi, i = l, 2, m; xj >0; j = l, 2, n.

где хj - количество производимой продукции j-го вида в натуральных измерениях;
Пj – прибыль от производства единицы продукции j-гo вида;
аij – норма расхода i-го ресурса на производство единицы j-гo вида продукции;
ωi – запасы i-го вида ресурса на рассматриваемый период времени.
1. Составление уравнений целевых функций по:
- прибыли:
- лимиту материальных ресурсов:
- фонду рабочего времени в год:
- мощности потоков:
2. Предполагается, что выпускается изделий столько, сколько может выпустить поток (выпуск равен мощности потоков):
1 поток:
2 поток:
Перерасход (нехватка) материалов составит:

В случае перерасхода материалов:
3. Может быть 2 варианта расчета:
а) выпускается полностью школьное пальто и из оставшегося материала – дошкольное пальто:

Прибыль = Затраты времени =
б) выпускается полностью дошкольное пальто и из оставшегося материала
– школьное пальто:
Прибыль = Затраты времени =
Выводы:

Для того чтобы определить объемы выпуска продукции, обеспечивающие максимальный размер прибыли и минимальные затраты времени на их изготовление, мы должны составить уравнения целевых функций и учесть ограничения по лимиту материалов, фонду рабочего времени в год и мощности потоков.

1. Составление уравнений целевых функций:
- Для прибыли (L) мы должны умножить прибыль от производства единицы продукции каждого вида на количество производимой продукции, то есть L = П1 * X1 + П2 * X2, где П1 - прибыль от производства единицы школьного пальто, П2 - прибыль от производства единицы дошкольного пальто, X1 - количество производимого школьного пальто, X2 - количество производимого дошкольного пальто.
- Чтобы учесть лимит материалов, мы должны убедиться, что суммарный расход материалов на производство каждого вида продукции не превышает лимит материалов. То есть: 2,2 * X1 + 1,5 * X2 ≤ 120 000, где 2,2 - норма расхода на выпуск школьного пальто, 1,5 - норма расхода на выпуск дошкольного пальто.
- Чтобы учесть фонд рабочего времени в год, мы должны убедиться, что суммарное время, затраченное на производство каждого вида продукции, не превышает 1 рабочего в год. То есть: 1,2 * X1 + 1 * X2 ≤ 1942, где 1,2 - время на изготовление школьного пальто, 1 - время на изготовление дошкольного пальто.

2. Предполагается, что выпускается столько изделий, сколько может выпустить поток (выпуск равен мощности потоков):
- Если у нас есть только 1 поток, то мы должны убедиться, что суммарное время на производство каждого вида продукции в одном потоке не превышает фонд рабочего времени в год. То есть: 1,2 * X1 + 1 * X2 ≤ 1942.
- Если у нас есть 2 потока, то мы должны убедиться, что каждый поток выпускает продукцию в пределах фонда рабочего времени в год. То есть: 1,2 * X1 + 1 * X2 ≤ 1942 для первого потока и 1,2 * X1 + 1 * X2 ≤ 1942 для второго потока.

3. Если возникает перерасход (нехватка) материалов, мы можем рассмотреть два варианта расчета:
а) Если мы выпускаем полностью школьное пальто и из оставшегося материала производим дошкольное пальто:
В этом случае, количество производимого школьного пальто будет равно планируемому выпуску школьного пальто, то есть X1 = 45 000.
Количество производимого дошкольного пальто может быть рассчитано как разность между лимитом материалов и материалами, уже использованными на выпуск школьного пальто, поделенной на норму расхода на выпуск дошкольного пальто. То есть: X2 = (120 000 - 2,2 * 45 000) / 1,5.

b) Если мы выпускаем полностью дошкольное пальто и из оставшегося материала производим школьное пальто:
В этом случае, количество производимого дошкольного пальто будет равно планируемому выпуску дошкольного пальто, то есть X2 = 35 000.
Количество производимого школьного пальто может быть рассчитано как разность между лимитом материалов и материалами, уже использованными на выпуск дошкольного пальто, поделенной на норму расхода на выпуск школьного пальто. То есть: X1 = (120 000 - 1,5 * 35 000) / 2,2.

4. Выводы:
- Мы можем определить объемы выпуска продукции, обеспечивающие максимальный размер прибыли и минимальные затраты времени на их изготовление, рассмотрев два варианта расчета (а и б) и выбрав тот, в котором прибыль равна максимальному значению и затраты времени равны минимальному значению.
- В зависимости от ограничений по лимиту материалов, фонду рабочего времени и мощности потоков, возможно более выгодно производить либо школьное, либо дошкольное пальто для максимизации прибыли и минимизации затрат времени.
- Важно также учесть, что эти расчеты не учитывают ограничений по качеству товара, поэтому для окончательного решения необходимо проверить качество производимой продукции.