Формулы касаемых тангенса и котангенса напишите

   тангенса  суммы  аргументов :          

tg(α+β)=

tgα+tgβ

1−tgα⋅tgβ

  (1)

   тангенса  разности  аргументов :      

tg(α−β)=

tgα−tgβ

1+tgα⋅tgβ

  (2)

Оговорка о допустимых значениях аргументов означает, что все тангенсы имеют смысл, т.е. выполняются условия:

α≠

π

2

+πk,β≠

π

2

+πnk,n

∈ℤ

, 

α+β≠

π

2

+πm,m∈ℤ

  для формулы (1), 

α−β≠

π

2

+πm,m∈ℤ

  для формулы (2),

Эти формулы очень важны и широко применяются не только в математике, но и в физике - особенно, в радиотехнике.  

Вывод формул естественным образом получается из определения функции  тангенс и использования уже известных формул синуса  и  косинуса  суммы  и  разности  аргументов.  

Докажем формулу тангенса  суммы  аргументов. Имеем:

tg(α+β)=

sin(α+β)

cos(α+β)

=

sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ

cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ

Разделим каждое из слагаемых числителя и знаменателя на 

cosα⋅cosβ

,

учитывая, что значение дроби от этого не изменится и, что

cosα⋅cosβ≠0

 из принятых выше условий

для допустимых значений аргументов, т.е.

α≠

π

2

+πk,β≠

π

2

+πnk,n

∈ℤ

. Тогда:

tg(α+β)=

sin(α+β)

cos(α+β)

=

sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ

cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ

=

sinα⋅cosβ

cosα⋅cosβ

+

cosα⋅sinβ

cosα⋅cosβ

cosα⋅cosβ

cosα⋅cosβ

−

sinα⋅sinβ

cosα⋅cosβ

=

tgα+tgβ

1−tgα⋅tgβ

,

что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается формула тангенса  разности  аргументов :

tg(α−β)=

sin(α−β)

cos(α−β)

=

sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ

cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ

=

sinα⋅cosβ

cosα⋅cosβ

−

cosα⋅sinβ

cosα⋅cosβ

cosα⋅cosβ

cosα⋅cosβ

+

sinα⋅sinβ

cosα⋅cosβ

=

tgα−tgβ

1+tgα⋅tgβ

.