Если ПК подключить к новому монитору ,то аватарка на рабочем столе будеткак и на старом?

Скорее всего да. Если что можно просто сделать скриншот экрана и сделать поиск по картинке через яHдекс, и найти фон который у тебя стоит на рабочем столе

ответ: Конечно да)) Монитор просто выводит изображение на экран, а остальная информация хранится на жестком диске