Электротехника

1. Ток в цепи с L изменяется по закону
i = Im sin ( t - / 2).
Как будут изменяться напряжение и э.д.с. самоиндукции в цепи?

Для того чтобы ответить на данный вопрос, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Напишем закон Фарадея для самоиндукции. В соответствии с законом Фарадея, напряжение Uind в самоиндукционной цепи равно производной от тока по времени, умноженной на самоиндукцию L:
Uind = -L * di/dt

Шаг 2: Найдем производную от тока по времени. Для этого возьмем производную от выражения i = Im * sin(ω(t - φ/2)) по времени t:
di/dt = Im * ω * cos(ω(t - φ/2))

Шаг 3: Подставим полученное значение производной в формулу для напряжения самоиндукции:
Uind = -L * (Im * ω * cos(ω(t - φ/2)))

Шаг 4: Упростим выражение для напряжения самоиндукции. Для этого используем тригонометрическое тождество cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b), где a = ωt и b = φ/2:
Uind = -L * (Im * ω * cos(ωt)cos(φ/2) + Im * ω * sin(ωt)sin(φ/2))

Шаг 5: Заметим, что cos(φ/2) и sin(φ/2) - это постоянные значения, так как φ/2 - это сдвиг фазы. Обозначим эти значения как A и B соответственно:
Uind = -L * (Im * ω * cos(ωt) * A + Im * ω * sin(ωt) * B)

Шаг 6: Воспользуемся тождеством sin(ωt + α) = sin(ωt)cos(α) + cos(ωt)sin(α), где α - это любая постоянная. Пусть α = arctan(B/A):
Uind = -L * Im * ω * sin(ωt + α)

Таким образом, напряжение самоиндукции Uind в цепи будет изменяться по синусоидальному закону с частотой ω и амплитудой L * Im * ω.

Что касается э.д.с. самоиндукции, она определяется как разность между напряжением самоиндукции Uind и напряжением на самоиндукции U:
ε = Uind - U = -L * Im * ω * sin(ωt + α) - U

Таким образом, э.д.с. самоиндукции будет также изменяться по синусоидальному закону с той же частотой ω, но сдвинутому по фазе на угол α относительно напряжения самоиндукции Uind. Обратите внимание, что э.д.с. самоиндукции может иметь как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от значения угла α.

В итоге, основываясь на данном уравнении для электротехники, мы можем утверждать, что в данной цепи напряжение и э.д.с. самоиндукции будут меняться по синусоидальному закону с той же частотой, что и ток, но с различной амплитудой и сдвигом по фазе.