Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной A. Общая касательная к этим

Проведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - прямые.
Следовательно эти треугольники подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
32/31=(AH+R+r)/AH
32AH=31(AH+63)
32AH-31AH=1953
AH=1953
sin∠EAH=EH/AH=31/1953=1/63
AK=AH+r=1953+31=1984
AK перпендикулярен BC, т.к. это продолжение большого и малого радиусов, а AB - касательная ( свойство касательной). AK делит хорду AB пополам (по свойству хорды).
Треугольник ABC - равнобедренный, т.к. AK - и медиана и высота ( свойство равнобедренного треугольника).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=1984
sinα=1/63
Так как AK - биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По теореме Пифагора:
AB2=AK2+BK2
AB2=AK2+(AB*sinα)^2
AB2-AB2*sin2α= 1984^2
AB2(1-1/63^2)=1984^2
AB2(63^2-1)=63^2*1984^2
AB2=63^2*1984^2/(63^2-1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник равнобедренный.
Проведем высоту ON, в равнобедренном треугольнике она так же является и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO => ON=AO/63
По теореме Пифагора:
AO2=ON2+AN2
AO2=AO2/63^2+(AB/2)^2
AO2-AO2/63^2=AB^2/4
AO2(1-1/63^2)=AB^2/4
AO2((63^2-1)/63^2)=(63^2*1984^2/(63^2-1))/4
4AO2=63^2*1984^2/(63^2-1)/((63^2-1)/63^2)=63^2*1984^2*63^2/(632-1)^2
2AO=63^2*1984/(63^2-1)
2AO=3969*1984/3968=3969/2=1984,5
AO=992,25
Ответ: 992,25