Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника

Решение. Рассмотрим треугольник ABC, на сторонах АВ и ВС которого взяты точки М и N (рис.212). Если одна из этих точек совпадает с вершиной В или отрезок MN совпадает со стороной АС, то утверждение, сформулированное в задаче, очевидно. Случай, когда один из концов отрезка MN совпадает с вершиной А или С, рассмотрен в задаче 312. Осталось рассмотреть случай, когда оба конца отрезка MN не совпадают ни с одной из вершин треугольника.
В треугольнике BMN один из углов — острый. Пусть, например, острым является угол М. Тогда смежный с ним угол AMN — тупой. Согласно утверждению, сформулированному в задаче 312, отрезок AN меньше большей из сторон АВ и АС. С другой стороны, этот отрезок лежит против тупого угла треугольника AMN, поэтому MN < AN. Следовательно, отрезок MN также меньше большей из сторон АВ и АС, а значит, он меньше наибольшей из сторон треугольника ABC.