Докажите, что если точка пересечения диагоналей параллелограмма равноудалена от двух его соседних вершин, то этот параллелограмм — прямоугольник.

решение задания по геометрии
 

Чтобы доказать, что параллелограмм является прямоугольником, нам понадобится использовать свойства и определения параллелограмма и прямоугольника.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны между собой.

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам.

Для начала, давайте обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма как O. Пусть A и B - две соседние вершины параллелограмма, а C и D - противоположные вершины.

Так как O является точкой пересечения диагоналей, то O делит каждую из диагоналей напополам. Поэтому, можно сказать, что AO=OC и BO=OD.

Теперь, нам нужно доказать, что каждый из углов AOD, BOC, AOB и COD равен 90 градусам.

Предположим, что угол AOD не равен 90 градусам. Это значит, что угол AOD - острый или тупой угол.

Если угол AOD острый, то у нас будут два случая:

1. Угол AOD меньше 90 градусов. В этом случае, треугольник AOD будет остроугольным треугольником, и это противоречит тому, что O находится на равном расстоянии от точек A и D.

2. Угол AOD больше 90 градусов. В этом случае, треугольник AOD будет тупоугольным треугольником, и это также противоречит проверке того, что O находится на равном расстоянии от точек A и D.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда угол AOD тупой.

Если угол AOD тупой, то у нас также будут два случая:

1. Угол AOD больше 180 градусов. В этом случае, треугольник AOD будет иметь отрицательную площадь, что невозможно.

2. Угол AOD равен 180 градусам. В этом случае, точки A, O и D будут лежать на одной прямой, что также противоречит условию параллелограмма.

Таким образом, мы приходим к выводу, что угол AOD не может быть острым, тупым или большим 180 градусов. Значит, угол AOD равен 90 градусам.

Аналогично, можно доказать, что и углы BOC, AOB и COD также равны 90 градусам.

Таким образом, мы доказали, что все углы у параллелограмма равны 90 градусам, что означает, что он является прямоугольником.