Докажите, что если хорды окружности равноудалены от ее центра, то они равны.

Пусть дано круг (О, R), AB i CD - хорды, OK ┴ AB,
ОМ ┴ CD, OK ┴ ОМ. Докажем, что AB = CD.
Рассмотрим ΔАКО i ΔDMO.
1) АО = DO (как радиусы).
2) ОК = ОМ (по условию).
3) ∟AКO = ∟DMO = 90 ° (ОК ┴ АВ, ОМ ┴ CD).
Итак, ΔАКО = ΔDMO за катетом i гипотенузой.
3 этого следует, что АК = DM.
Рассмотрим ΔАОВ i ΔDOC - равнобедренные (т.к. АО = OB = OD = ОС = R).
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.
Тогда ОК - медиана ААОВ, ОМ - медиана ΔDOC.
АК = KB (OK - медиана ΔАОВ).
DM = МС (ОМ - медиана ΔDOC).
AB = 2AK, CD = 2DM. Поскольку АК = DM, то АВ = CD.