Дана выборка х1, х2, х3, … , хn . хi – числа. Если каждый элемент выборки увеличить на 10, то среднее увеличится на 10, а дисперсия S2 не изменится

Хорошо, давайте разберем этот вопрос пошагово.

Для начала, нам нужно понять, что такое выборка и как считается ее среднее и дисперсия.

Выборка - это набор чисел, в нашем случае это х1, х2, х3, … , хn.

Среднее выборки - это среднее арифметическое всех чисел в выборке. Для подсчета среднего выборки нужно сложить все числа и разделить полученную сумму на количество чисел в выборке. Обозначается это как "х с чертой" (x̄).

Дисперсия выборки - это мера разброса чисел в выборке относительно их среднего значения. Для подсчета дисперсии выборки нужно сначала вычесть из каждого числа в выборке среднее значение выборки, затем возвести каждое полученное число в квадрат, потом сложить все полученные квадраты и разделить полученную сумму на количество чисел в выборке минус 1. Обозначается это как "S в квадрате" (S²).

Теперь давайте рассмотрим, как изменится среднее и дисперсия выборки, если каждый элемент выборки увеличить на 10.

Пусть наша исходная выборка - х1, х2, х3, … , хn.

Если увеличить каждый элемент выборки на 10, то новая выборка будет быть (х1+10), (х2+10), (х3+10), … , (хn+10).

Среднее новой выборки будет равно:

(х1+10 + х2+10 + х3+10 + … + хn+10) / n.

Можно раскрыть скобки и упростить выражение:

(х1 + х2 + х3 + … + хn) / n + (10+10+10+...+10) / n.

Здесь (х1 + х2 + х3 + … + хn) / n это исходное среднее выборки x̄.

А (10+10+10+...+10) / n это просто 10, так как у нас n элементов.

Таким образом, новое среднее выборки будет (x̄ + 10).

Теперь рассмотрим, как изменится дисперсия новой выборки.

Для подсчета дисперсии новой выборки, нужно вычесть из каждого числа в новой выборке новое среднее выборки (x̄ + 10), затем возвести каждое полученное число в квадрат, потом сложить все полученные квадраты и разделить полученную сумму на количество чисел в новой выборке минус 1.

Обозначим новое среднее выборки (x̄ + 10) как M.

Теперь проведем рассчеты:

Дисперсия новой выборки = [(х1+10 - M)² + (х2+10 - M)² + (х3+10 - M)² + … + (хn+10 - M)²] / (n-1).

Раскроем скобки и упростим выражение:

[(х1 - x̄)² + (х2 - x̄)² + (х3 - x̄)² + … + (хn - x̄)²] / (n-1).

Здесь (х1 - x̄)² + (х2 - x̄)² + (х3 - x̄)² + … + (хn - x̄)² это исходная дисперсия выборки S².

Таким образом, новая дисперсия выборки будет равна S², она не изменится.

Поэтому, если каждый элемент выборки увеличить на 10, среднее выборки увеличится на 10, а дисперсия выборки не изменится.