Дан треугольник ABC с периметром 30 см, АК — его медиана. Периметр треугольника АВК равен 18 см, периметр треугольника АСК — 24 см. Найдите длину медианы АК.

ответ к заданию по геометрии

 

Привет! Рассмотрим данный треугольник и найдем решение пошагово.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. В этом случае, у нас есть треугольник ABC, у которого периметр равен 30 см. Чтобы найти медиану АК, нам нужно найти длину стороны АК.

У медианы есть важное свойство: она делит сторону треугольника на две равные части. То есть, если АК – медиана, то АК = КС. Воспользуемся этим свойством для поиска решения.

Дано, что периметр треугольника АВК равен 18 см. Заметим, что периметр треугольника это сумма длин его сторон. То есть, АВ + ВК + АК = 18. Мы знаем, что АВК – треугольник, а его периметр равен 18 см. Однако, у нас есть три неизвестных стороны, поэтому нам нужно найти значения каждой стороны треугольника.

Используем основное свойство медианы: АК = КС. Это значит, что АК равно половине стороны ВК. Пусть длина стороны ВК равна Х, тогда АК = КС = Х/2.

Тогда АВ + ВК + АК = АВ + Х + Х/2.

Аналогично, для треугольника АСК, у которого периметр равен 24 см, мы можем использовать те же самые шаги. Пусть длина стороны СК равна У, тогда АК = КС = У/2.

Тогда АС + СК + АК = АС + У + У/2.

Теперь, объединим оба уравнения вместе:

АВ + Х + Х/2 = 18,

АС + У + У/2 = 24.

Перепишем эти уравнения для удобства:

2АВ + 2Х + Х = 36,

2АС + 3У + У = 48.

Упростим эти уравнения:

2АВ + 3Х = 36,

2АС + 4У = 48.

Теперь, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: АВ, Х, АС и У. Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод подстановки или метод исключения, но в этом случае они не являются эффективными, так как сложно избавиться от коэффициентов 3 и 4.

Вместо этого, воспользуемся другим путем. Мы хотим найти длину медианы АК, поэтому заметим, что 2АВ + 3Х = 36 и 2АС + 4У = 48. Мы можем найти соотношение между Х и У, чтобы избавиться от неизвестных АВ и АС.

Для этого разделим второе уравнение на 2:

АС + 2У = 24.

Теперь у нас есть два уравнения:

2АВ + 3Х = 36,

АС + 2У = 24.

Избавимся от АС во втором уравнении. Для этого умножим это уравнение на 2:

2АС + 4У = 48.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

2АВ + 3Х = 36,

2АС + 4У = 48.

Теперь у нас есть система с двумя уравнениями и двумя неизвестными. Будем искать соотношения между Х и У.

Используем первое уравнение: 2АВ + 3Х = 36.

Используем второе уравнение, умноженное на 2: 2АС + 4У = 48.

Заметим, что коэффициенты Х и У в первом уравнении равны 3 и 4, соответственно. Следовательно, у нас есть следующая система уравнений:

2АВ + 3Х = 36,

2АС + 3Х = 48.

Вычтем второе уравнение из первого:

2АВ - 2АС + 3Х - 3Х = 36 - 48,

2АВ - 2АС = -12.

Теперь, объединим коэффициенты АВ и АС:

2(АВ - АС) = -12,

АВ - АС = -6.

Заметим, что один коэффициент равен -1. Это значит, что медиана АК относится к стороне ВК, как -1 относится к стороне АС (помним, что АК = КС). Используя это соотношение, мы можем найти длину медианы:

АК = КС = -1 * Х/2 = -1 * (-6)/2 = 6/2 = 3.

Таким образом, длина медианы АК равна 3 см.

Вот и все! Если есть еще вопросы или что-то не ясно, я готов помочь.