Цепь переменного тока с последовательно соединенными катушкой и конденсатором при частоте f = 160 Гц настроена в резонанс. Определить емкость конденсатора, действующее значение тока, напряжение на зажимах цепи и на отдельных участках ее, если активная мощность Ра= 1000 Вт, индуктивность катушки L= 10 мГн и активное сопротивление цепи R= 10 Ом.​

Для решения данной задачи, нам понадобятся формулы, которые связывают активную мощность, емкость и индуктивность в резонансе для цепи переменного тока.

1. Формула для расчета резонансной частоты f_рез:

f_рез = 1 / (2π√(LC)),

где L - индуктивность катушки, C - емкость конденсатора.


2. Формула для расчета активного сопротивления цепи R_рез:

R_рез = √(R^2 + (ωL - 1/ωC)^2),

где R - активное сопротивление цепи, ω - угловая частота, связанная с резонансной частотой f_рез через формулу ω = 2πf_рез.


3. Формула для расчета емкости конденсатора C:

C = 1 / (L(2πf_рез)^2).


4. Формула для расчета действующего значения тока I_действ:

I_действ = P_а / (√3UA),

где P_а - активная мощность, UA - напряжение на зажимах цепи.


5. Формула для расчета напряжения на зажимах цепи UA:

UA = I_действ * Z_рез,

где Z_рез - импеданс резонансной цепи, связанный с активным сопротивлением R_рез через формулу Z_рез = R_рез.


6. Формулы для расчета напряжений на отдельных участках цепи:

U_L = I_действ * ωL,

U_C = I_действ * 1/ωC.


Теперь, приступим к решению задачи.

1. Расчет резонансной частоты f_рез:

Подставляем известные значения в формулу:

f_рез = 1 / (2π√(10 * 10^-3 * C))

Поскольку нам дана резонансная частота f = 160 Гц, можем приравнять f_рез к 160 и решить уравнение относительно C.

160 = 1 / (2π√(10 * 10^-3 * C))

2π√(10 * 10^-3 * C) = 1 / 160

10 * 10^-3 * C = (1 / 160)^2 / (2π)^2

C = (1 / 160)^2 / (2π)^2 / (10 * 10^-3)

Вычисляем полученное значение C.


2. Расчет активного сопротивления цепи R_рез:

Подставляем известные значения в формулу:

R_рез = √((10 Ω)^2 + ((2π * 160)^2 * 10 * 10^-3 - 1 / ((2π * 160)^2 * C))^2)

Вычисляем полученное значение R_рез.


3. Расчет емкости конденсатора C:

Подставляем известные значения в формулу:

C = 1 / (10 * 10^-3 * (2π * 160)^2)

Вычисляем полученное значение C.


4. Расчет действующего значения тока I_действ:

Подставляем известное значение активной мощности P_а в формулу:

I_действ = 1000 Вт / (√3 * UA)

Поскольку нам дано активное сопротивление R, можем рассчитать UA:

UA = (R * I_действ) / √3

Подставляем полученное значение UA в формулу для I_действ:

I_действ = 1000 Вт / (√3 * ((R * I_действ) / √3))

Решаем полученное уравнение относительно I_действ.


5. Расчет напряжения на зажимах цепи UA:

Подставляем известное значение I_действ и R_рез в формулу:

UA = I_действ * R_рез

Вычисляем полученное значение UA.


6. Расчет напряжений на отдельных участках цепи:

Подставляем известное значение I_действ и используем формулы:

U_L = I_действ * ωL

U_C = I_действ * 1/ωC

Вычисляем полученные значения U_L и U_C.


Таким образом, мы рассчитали емкость конденсатора, действующее значение тока, напряжение на зажимах цепи и на отдельных участках ее при заданных условиях.