Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь равнобедренного треугольника

Решение.

1-й способ. Применим формулу Герона. Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет более простой вид (см. формулу 1 в списке формул выше):
Плоащдь равнобедренного треугольника
где а - длина боковых сторон, а b - длина основания.
Подставив значения длин сторон треугольника из условия задачи, получим:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5 )( 13 - 5 )) = 5 √ (18 * 8) = 60 см2

2-й способ. Применим теорему Пифагора
Предположим, что мы не помним формулу, использованную в первом способе решения. Поэтому опустим из вершины B на основание AC высоту BK.
Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см .

Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник ABK. В этом треугольнике нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.
Соответственно, высота будет равна:

h = √ ( 132 - 52 ) = √144 = 12 см

Площадь исходного равнобедренного треугольника ABC будет равна площади двух прямоугольных треугольников ABK и CBK, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Оба прямоугольных треугольника равны между собой. Гипотенузы - это стороны равнобедренного треугольника, поэтому они равны, один из катетов - общий, а, поскольку, BK одновременно является и биссектрисой и высотой, то, соответствующие углы также равны. Поэтому нам будет достаточно найти площадь одного из них и умножить полученное число на два.
Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим:

S = AK * BK / 2
S = 5 * 12 / 2 = 30 см2

Поскольку в составе треугольника ABC два равных прямоугольных треугольника ABK и CBK, то общая площадь равнобедренного треугольника ABC составит:
30 * 2 = 60 см2 .

Как видно, оба способа решения дают один и тот же результат.     

Ответ: Площадь равнобедренного треугольника составляет 60 см2 .