(3х^2у+у^3)dx+(x^3+3xy^2)dy=0

Рассмотрите такое решение:

1. P''_{xy}=(3 x^{2} y+ y^3)'_y=3 x^{2} +3 y^{2} ; R''_{yx}=(x^3+3xy^2)'_x=3x^2+3y^2.

Значит, это ДУ - ДУ в полных дифференциалах.

\frac{dF}{dx}=3x^2y+y^3; \frac{dF}{dy} =x^3+3xy^2

2. F= \int\ {(3x^2y+y^3)}\,dx =x^3y+xy^3+g(x);

3. \frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2+g'(x)_y

4. c одной стороны, \frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2+g'(x)_y

с другой стороны, \frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2

Тогда, приравняв оба выражения, получим:

g'(x)_y=0; g(x)=const.

⇒ F=x^3+3xy^2+C

5. y(1)=1 ⇒

F=x^3+3xy^2-3