10. из 100 студентов факультета 35 человек отлично сдали экзамен по дисциплине эконометрика, из 150 студентов факультета менеджмент отличников оказалось 40 человек. необходимо проверить на уровне значимости α=0,02 гипотезу о том, что вероятность отличной оценки не зависит от того, на каком факультете проводился экзамен.

Чтобы проверить данную гипотезу, мы будем использовать критерий независимости хи-квадрат (χ²).

Шаг 1: Формулировка нулевой и альтернативной гипотезы.
Нулевая гипотеза (H₀): Вероятность получения отличной оценки не зависит от факультета, на котором проводился экзамен.
Альтернативная гипотеза (H₁): Вероятность получения отличной оценки зависит от факультета, на котором проводился экзамен.

Шаг 2: Уровень значимости.
Уровень значимости (α) дано и равен 0,02. Это означает, что мы будем считать результаты значимыми, если p-значение будет меньше или равно α.

Шаг 3: Создание таблицы наблюдаемых и ожидаемых значений.
Необходимо создать таблицу 2x2, где строки соответствуют разным факультетам (эконометрика и менеджмент), а столбцы соответствуют результатам (отличные и не отличные оценки). В этой таблице мы будем сравнивать фактические (наблюдаемые) значения с ожидаемыми.

Фактические значения:
Отличные Не отличные
Эконометрика 35 65
Менеджмент 40 110

Ожидаемые значения:
Для этого мы сначала найдем общую долю отличников среди всех студентов:

(35 + 40) / (100 + 150) = 75 / 250 = 0.3

Затем умножим эту долю на общее количество студентов каждого факультета, чтобы получить ожидаемые значения:

Ожидаемые значения для эконометрики: 0.3 * 100 = 30
Ожидаемые значения для менеджмента: 0.3 * 150 = 45

Шаг 4: Расчет статистики критерия и p-значения.
Статистика критерия χ² (хи-квадрат) может быть рассчитана с использованием следующей формулы:

χ² = Σ((наблюдаемое значение - ожидаемое значение)² / ожидаемое значение)

Вычисляем χ²:
χ² = ((35-30)² / 30) + ((65-70)² / 70) + ((40-45)² / 45) + ((110-105)² / 105)
= (25 / 30) + (25 / 70) + (25 / 45) + (25 / 105)
= 0.833 + 0.357 + 0.556 + 0.238
= 1.984

Шаг 5: Нахождение степеней свободы и критического значения.
Степени свободы находятся по формуле: (количество строк - 1) * (количество столбцов - 1)
В данном случае: (2 - 1) * (2 - 1) = 1

Далее, мы используем таблицу значений распределения хи-квадрат для определения критического значения. На уровне значимости α=0,02 с одной степенью свободы, критическое значение равно 5,991.

Шаг 6: Принятие решения.
Если значение статистики критерия χ² больше критического значения, мы отклоняем нулевую гипотезу. В противном случае, мы не можем отклонить нулевую гипотезу.

В данном случае, χ² = 1.984, что меньше 5,991, поэтому мы не можем отклонить нулевую гипотезу на уровне значимости α=0,02. Это означает, что нет достаточных доказательств, чтобы утверждать, что вероятность получения отличной оценки зависит от факультета, на котором проводился экзамен.