"nice picnic was arranged by them last month" или "last month a nice picnic was arranged by them"? и, если можно, объясните почему.

В первом варианте не хватает aртикля а nice picnic
и первое,и второе предложение верны,так как обстоятельство времени (когда) может употребляться и в начале,и в конце предложения.