Can the pronoun “everyone” and “everybody” be used in the genitive (=possessive) case?

Yes, they can.

For example:

on everyone's mind - у всех на уме;

in everyone's interest - в интересах каждого;

everyone's right - право каждого;

Everybody's business is nobody's business. - Общее дело - ничье дело или у семи нянек дитя без глазу.

He got everyone's attention. - Он привлек всеобщее внимание.