Желательно с объяснением♥

\sqrt[3]{2+\sqrt{5} } +\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }

кракодиллох2 кракодиллох2    2   08.09.2019 22:54    0

Ответы
умник202323 умник202323  07.10.2020 01:53

Обозначим всё это выражение через а, т.е.

\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=a, тогда возведя обе части равенство до квадрата, получим \left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)^3=a^3

В левой части равенства применим формулу куб суммы.

2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)=a^3\\ \\ \\ 4+3\sqrt[3]{4-5}a=a^3\\ \\ a^3+3a-4=0

Легко подобрать корень a=1, т.е. левая часть уравнения имеет разложение на множители:

a^3-a^2+a^2-a+4a-4=0\\ \\ a^2(a-1)+a(a-1)+4(a-1)=0\\ \\ (a-1)(a^2+a+4)=0

Здесь a = 1 есть корнем уравнения и также второй множитель должен равнять нулю

a^2+a+4=0

Но это квадратное уравнение корней не имеет, т.к. его дискриминант D=1-4\cdot 4=-15 отрицательный.

Следовательно, \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=a=1

ответ: 1.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра