Здравствуйте , с задачей: Определить траекторию точки М, которая при своём движении остаётся в три раза ближе к точке А(1,0), чем к прямой x=9.

Здравствуйте! Рассмотрим данную задачу пошагово.

Предположим, что координаты точки М равны (x, y). Тогда мы должны найти такие значения x и y, которые удовлетворяют условию: расстояние от точки М до точки А должно быть в 3 раза меньше, чем расстояние от точки М до прямой x=9.

Шаг 1: Найдем расстояние между точками М и А.
Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в координатной плоскости:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
В данном случае координаты точки А равны (1, 0), а координаты точки М - (x, y). Подставим данные значения в формулу расстояния:
d1 = √((x - 1)^2 + (y - 0)^2)

Шаг 2: Найдем расстояние от точки М до прямой x=9.
Так как прямая x=9 является вертикальной прямой, её уравнение можно представить в виде расстояния от точки М до этой прямой:
d2 = |x - 9|
Обратите внимание, что мы используем модуль от разности x и координаты прямой x=9, так как расстояние всегда должно быть положительным.

Шаг 3: По условию задачи, расстояние от точки М до точки А должно быть в 3 раза меньше, чем расстояние от точки М до прямой x=9. Это можно записать как:
d1 = (1/3) * d2
Подставим значения расстояний:
√((x - 1)^2 + (y - 0)^2) = (1/3) * |x - 9|

Шаг 4: Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и модуля:
((x - 1)^2 + (y - 0)^2) = ((1/3) * |x - 9|)^2
Упростим правую часть уравнения:
(x - 1)^2 + y^2 = (1/9) * (x - 9)^2

Шаг 5: Раскроем скобки в обеих частях уравнения и упростим его:
x^2 - 2x + 1 + y^2 = (1/9) * (x^2 - 18x + 81)
Упростим дробь в правой части уравнения:
9x^2 - 18x + 9 + 9y^2 = x^2 - 18x + 81
Уберем одинаковые слагаемые с обеих сторон:
8x^2 + 9y^2 - 72 = 0

Итак, полученное уравнение 8x^2 + 9y^2 - 72 = 0 описывает траекторию точки М, которая при своём движении остаётся в три раза ближе к точке А(1,0), чем к прямой x=9.

Надеюсь, эта информация была полезной и понятной! Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их!