Запишите десятичную дробь бесконечного периода 2,5 (12) как простую дробь, используя сумму бесконечно убывающих геометрических прогрессий.

Для начала, давай разберемся, что такое десятичная дробь с бесконечным периодом. Это дробь, в которой один или несколько разрядов после запятой повторяются бесконечно.

В данном случае нам нужно записать десятичную дробь 2,5(12) в виде простой дроби.

Шаг 1: Создание геометрической прогрессии
Для начала примем замену x = 0,121212... То есть, если мы найдем значение x, то сможем выразить исходную дробь через него.

Шаг 2: Умножение геометрической прогрессии на 100
Умножим наше уравнение x на 100, чтобы избавиться от всех знаков после запятой:
100x = 12,121212....

Шаг 3: Перенесение чисел в столбик и вычитание
Вычтем наше уравнение (x) из 100x:
100x - x = 12,121212... - 0,121212...
99x = 12

Шаг 4: Решение уравнения
Разделим обе части уравнения на 99:
x = 12/99

Шаг 5: Упрощение дроби
Упростим дробь 12/99, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), который в данном случае равен 3:
x = (12/3)/(99/3)
x = 4/33

Таким образом, десятичная дробь 2,5(12) равна простой дроби 4/33.

Обоснование:
Мы использовали метод геометрических прогрессий для решения этой задачи. Путем создания и вычитания геометрических прогрессий, мы смогли найти значение x, которое представляет исходную десятичную дробь. Затем мы упростили дробь, чтобы получить ответ в простой дроби. Это дает нам решение в более простой и понятной форме.