Задача №3. Заданы две системы линейных уравнений. Развязать первую систему методом Крамера. Получено при решении первой системы результат
проверить с метода обратной матрицы. Вторую систему развязать с
метода Гаусса
1)
1x1+5x2-3x3=0,
3x1-1x2+2x3=-1
1x1+3x2-1x3=-2

2) 1x1+3x2+4x3=1,
1x1+2x2-1x3=-1
2x1+5x2+3x3=0

Добрый день! Давайте разберемся с данными системами уравнений.

Первая система:

1) 1x1 + 5x2 - 3x3 = 0,
2) 3x1 - 1x2 + 2x3 = -1,
3) 1x1 + 3x2 - 1x3 = -2.

Мы можем развязать эту систему уравнений методом Крамера. Для этого рассмотрим расширенную матрицу коэффициентов данной системы:
1 5 -3 | 0
3 -1 2 | -1
1 3 -1 | -2

Определитель матрицы коэффициентов равен:
Δ = | 1 5 -3 |
| 3 -1 2 |
| 1 3 -1 |

Вычислим определитель Δ. Для этого применим правило треугольника Саррюса:
Δ = (1 * (-1) * (-1)) + (5 * 2 * 1) + (-3 * 3 * 1) - ((-3) * (-1) * 1) - (1 * 2 * (-1)) - (5 * 3 * (-1))
= -1 + 10 - 9 + 3 + 2 - 15
= -10 - 7
= -17

Таким образом, Δ = -17.

Теперь вычислим определитель Dx, где x - номер неизвестного. Для этого заменим столбец коэффициентов при неизвестной x на столбец свободных членов:
Dx = | 0 5 -3 |
| -1 -1 2 |
| -2 3 -1 |

Вычислим определитель Dx:
Dx = (0 * (-1) * (-1)) + (5 * 2 * (-2)) + (-3 * (-1) * 3) - ((-3) * (-1) * (-2)) - (0 * 2 * (-1)) - (5 * (-1) * 3)
= 0 - 20 - 9 + 6 + 0 + 15
= -29 + 6 + 15
= -8.

Таким образом, Dx = -8.

Аналогично вычислим определитель Dy и определитель Dz.

Dy = | 1 0 -3 |
| 3 -1 2 |
| 1 -2 -1 |

Вычислим определитель Dy:
Dy = (1 * (-1) * (-1)) + (0 * 2 * 1) + (-3 * (-1) * 1) - ((-3) * (-1) * 1) - (1 * 2 * (-1)) - (0 * (-1) * (-1))
= -1 + 0 - 3 + 3 - 2 + 0
= -4.

Таким образом, Dy = -4.

Dz = | 1 5 0 |
| 3 -1 -1 |
| 1 3 -2 |

Вычислим определитель Dz:
Dz = (1 * (-1) * (-2)) + (5 * (-1) * 1) + (0 * 3 * 1) - ((0) * (-1) * (-2)) - (1 * (-1) * 3) - (5 * 3 * (-2))
= 2 - 5 + 0 - 0 + 3 + 30
= 32.

Таким образом, Dz = 32.

Теперь, используя формулы Крамера, найдем значения неизвестных x, y, z.

x = Dx / Δ = -8 / -17 = 8 / 17 ≈ 0.47,
y = Dy / Δ = -4 / -17 = 4 / 17 ≈ 0.24,
z = Dz / Δ = 32 / -17 ≈ -1.88.

Финальное решение первой системы уравнений:
x ≈ 0.47,
y ≈ 0.24,
z ≈ -1.88.

Теперь перейдем ко второй системе уравнений:

1) 1x1 + 3x2 + 4x3 = 1,
2) 1x1 + 2x2 - 1x3 = -1,
3) 2x1 + 5x2 + 3x3 = 0.

Мы можем развязать эту систему уравнений методом Гаусса. Рассмотрим расширенную матрицу коэффициентов данной системы:
1 3 4 | 1
1 2 -1 | -1
2 5 3 | 0

Приведем данную матрицу к треугольному виду:

1) 1 3 4 | 1 (начальная строка)
2) 0 -1 -5 | -2 (Вычтем из второй строки первую, умноженную на 1)
3) 0 -1 -5 | -2 (Оставляем третью строку без изменений)

Изменяем третью строку:
1) 1 3 4 | 1
2) 0 -1 -5 | -2
3) 0 0 0 | 0 (Прибавим к третьей строке вторую строку, умноженную на -1)

Третья строка соответствует уравнению 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0, что свидетельствует о бесконечном количестве решений данной системы уравнений.

Общее решение второй системы уравнений:
x и y могут принимать любые значения, z равен нулю.

Надеюсь, ответ был полным и понятным для вас. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!