за лето позабыла как решать sin(x²+x)=1/2

task/29383416

Решить  уравнение    sin(x²+x)=1/2

sin(x²+x)=1/2  ⇒

а)

x²+ x = c₁, где  c₁ = π/6 + 2πk  ; k  ∈  ℤ  * * * π/6 +π*(2k) =π/6 +π*n  * **

x²+ x -  c₁   = 0      

если  D = 1 + 4c₁ ≥  0 ⇔ 1 + 2π/3 + 8πk  ≥  0  ⇔ k ≥ - 1/8π - 1 /12, т.е. k ∈ ℤ₊

* * *   ℤ₊ ={ 0 ; 1 ; 2: } * * *

x₁ , ₂  = (- 1 ±√( 1 + 2π/3 + 8πk) ) /2       ,      k ∈ ℤ₊

б)

x²+ x = c₂ ,  где  c₂  = 5π/6 +2πk ; k ∈  ℤ  

* * * π - π/6 +2πk = - π/6+π(2к+1) = - π/6+πn , nнечетное целое число * * *

x²+ x - c₂=0 ₂  ≥  0 ⇔ 1  + 10π/3 + 8πk  ≥  0  ⇔ k ≥ - 1/8π - 5/12, т.е. k ∈ ℤ₊

x₃ , ₄  = (- 1 ±√( 1 + 10π/3 + 8πk) ) /2       ,      k ∈ ℤ₊

При отрицательных целых  k уравнение  не имеет решения

sin(x²+x)=1/2

x²+x = (-1)ⁿarcsin(1/2) + πn, n∈Z;

x²+x = (-1)ⁿπ/6 + πn, n∈Z;

x² + x - (-1)ⁿπ/6 - πn = 0;

D = 1 + 4·((-1)ⁿπ/6 - πn);

D₁ = 1 + 4·(π/6 - 2πn); D₁ ≥ 0; 1 + 4·(π/6 - 2πn) ≥ 0; π/6 - 2πn ≥ -0,25| · 6;

π - 12πn ≥ -1,5; 12πn ≤ π + 1,5; n ≤ (π + 1,5)/(12π); n ≤ (2π + 3)/(24π);

n ≤ 1/12 + 3/(8π); n = 0; -1; -2;

x₁ = (-1 + √(1 + 4·(π/6 - 2πn)))/2; x₂ = (-1 - √(1 + 4·(π/6 - 2πn)))/2, n = 0; -1; -2;

D₂ = 1 + 4·(-π/6 - 2πn - π) = 1 + 4·(-7π/6 - 2πn) ; D₂ ≥ 0; 1 + 4·(-7π/6 - 2πn) ≥ 0;

-7π/6 - 2πn ≥ -1/4; 2πn ≤ 1/4 - 7π/6; n ≤ (1/4 - 7π/6)/(2π);

n ≤ 1/(8π) - 7/12; n = -1; -2; -3; ...

x₁ = (-1 + √(1 + 4·(-7π/6 - 2πn)))/2; x₂ = (-1 - √(1 + 4·(-7π/6 - 2πn)))/2, n = -1; -2; -3; ...