ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров
а) так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?
б) если некоторые ящики могут оказаться пустыми?

6*6=36(ч)

36-20=16(ч)

а) Чтобы ни один ящик не оказался пустым, каждый ящик должен содержать хотя бы один шар. Мы можем рассмотреть различные случаи, где каждый ящик содержит определенное количество шаров.

- Если первый ящик содержит все 20 шаров, то остальные 5 ящиков должны содержать по одному шару каждый. Такое сочетание возможно только в одном случае, поэтому это будет только 1 вариант.

- Если первый ящик содержит 19 шаров, то оставшиеся 5 ящиков должны содержать от 1 до 5 шаров каждый. Это можно сделать несколькими способами. Посчитаем количество возможных комбинаций:
- Если второй ящик содержит 1 шар и остальные шесть ящиков содержат по одному шару каждый, то это будет 1 вариант.
- Если второй ящик содержит 2 шара и оставшиеся шесть ящиков содержат по одному шару каждый, то это будет 1 вариант.
- И так далее, пока второй ящик содержит 5 шаров, а остальные шесть ящиков содержат по одному шару каждый. В этом случае будет 1 вариант.
Таким образом, общее количество вариантов будет 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.

- Если первый ящик содержит 18 шаров, то оставшиеся 5 ящиков должны содержать от 2 до 6 шаров каждый. Аналогично предыдущему случаю, мы можем посчитать количество вариантов для каждого количества шаров во втором ящике:
- Если второй ящик содержит 2 шара, а остальные шесть ящиков содержат по одному шару каждый, то это будет 1 вариант.
- Если второй ящик содержит 3 шара, то оставшиеся шесть ящиков должны содержать от 1 до 5 шаров каждый. Посчитаем количество вариантов:
- Если в третьем ящике 1 шар, а остальные пять ящиков содержат по одному шару каждый, то это будет 1 вариант.
- Если в третьем ящике 2 шара, а остальные пять ящиков содержат по одному шару каждый, то это будет 1 вариант.
- И так далее, пока в третьем ящике 5 шаров, а остальные пять ящиков содержат по одному шару каждый. В этом случае будет 1 вариант.
Таким образом, общее количество вариантов для второго ящика будет 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.
- И так далее, для каждого количества шаров во втором ящике от 2 до 6. Таким образом, общее количество вариантов будет 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25.

Общее количество вариантов, где ни один ящик не оказался пустым, будет 1 + 5 + 25 = 31.

б) Если некоторые ящики могут оказаться пустыми, то у нас появляется больше вариантов. Мы можем использовать комбинации сочетаний шаров по ящикам.

Используем формулу сочетания:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!),
где n - общее количество объектов (шаров), k - количество объектов (шаров), которые нужно выбрать.

- Если у нас 20 шаров и 6 ящиков, мы можем использовать C(20, 6),
что равно 20! / (6! * (20-6)!).
Вычислим это выражение:
C(20, 6) = (20! / (6! * (20-6)!) = (20! / (6! * 14!)) = (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 38,760.

Таким образом, с учетом того, что некоторые ящики могут оказаться пустыми, количество возможных комбинаций будет 38,760.