Y'=y²/x²+6y/x+6 найти общий интеграл дифференциального уравнения

Gggg25632 Gggg25632    1   23.05.2021 06:41    3

Ответы
Касоничка Касоничка  22.06.2021 06:43

y '= \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + \frac{6y}{x} + 6 \\

Это однородное ДУ

Замена:

\frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ ux + u = u {}^{2} + 6 u + 6 \\ \frac{du}{dx} x = {u}^{2} + 5 u + 6 \\ \int\limits \frac{du}{u {}^{2} + 5 u + 6} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \\ u {}^{2} + 5u + 6 = {u}^{2} + 2 \times u \times \frac{5}{2} + \frac{25}{4} - \frac{1}{4} = \\ = (u + \frac{5}{2} ) {}^{2} - ( \frac{1}{2} ) {}^{2} \\ \\ \int\limits \frac{d(u + \frac{5}{2}) }{(u + \frac{5}{2}) {}^{2} - ( \frac{1}{2}) {}^{2} } = ln( |x| ) + ln(C) \\ \frac{1}{2 \times \frac{1}{2} } ln( | \frac{u + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} }{u + \frac{5}{2} + \frac{1}{2} } | ) = ln( |Cx| ) \\ ln( | \frac{u + 2}{u + 3} | ) = ln( |Cx| ) \\ \frac{ \frac{y}{x} + 2}{ \frac{y}{x} + 3} = Cx \\ \frac{y + 2x}{x} \times \frac{x}{y + 3x} = Cx \\ \frac{y + 2x}{y + 3y} = Cx

общее решение

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ