1. Алгебра
  2. (y²-2xy)dx+x²dy=0 диф.

(y²-2xy)dx+x²dy=0 диф. уравнение

uzil1565 uzil1565    2   29.04.2020 06:50    71

Ответы
Kira5672 Kira5672  13.09.2020 21:48

(y^2-2xy)dx+x^2dy=0

Разделим на dx:

y^2-2xy+x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}= 0

Разделим на x^2:

\dfrac{y^2}{x^2} -2\cdot\dfrac{y}{x} +\dfrac{dy}{dx}= 0

\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 -2\cdot\dfrac{y}{x} +y'= 0

Замена:

\dfrac{y}{x} =t

\Rightarrow y=tx

\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t

Получим уравнение:

t^2 -2t +t'x+t= 0

t^2 -t +t'x= 0

t'x= t-t^2

x\cdot\dfrac{dt}{dx} = t-t^2

\dfrac{dt}{ t-t^2} =\dfrac{dx}{x}

\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}

Чтобы найти интеграл, стоящий в левой части, подынтегральную дробь представим в виде суммы составляющих:

\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{A}{t} +\dfrac{B}{1-t} =\dfrac{A(1-t)+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{A-At+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{(B-A)T+A}{t(1-t)}

Дроби равны, знаменатели равны. Значит, равны и числители:

1=(B-A)t+A

Условие равенства:

\begin{cases} A=1 \\ B-A=0 \end{cases}

\begin{cases} A=1 \\ B=A=1 \end{cases}

Значит, дробь раскладывается на составляющие следующим образом:

\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{1}{t} +\dfrac{1}{1-t}

Возвращаемся к интегрированию:

\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}

\int\dfrac{dt}{ t}+\int\dfrac{dt}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}

Для второй дроби выполним подведение под знак дифференциала:

\int\dfrac{dt}{ t}-\int\dfrac{d(1-t)}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}

Интегрируем:

\ln|t|-\ln|1-t|=\ln|x|-\ln|C|

\ln\left|\dfrac{t}{1-t}\right|=\ln\left|\dfrac{x}{C}\right|

\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{x}{C}

Обратная замена:

\dfrac{\frac{y}{x} }{1-\frac{y}{x} }=\dfrac{x}{C}

\dfrac{y }{x-y }=\dfrac{x}{C}

\dfrac{x-y }{y }=\dfrac{C}{x}

\dfrac{x }{y }-1=\dfrac{C}{x}

\dfrac{x }{y }=1+\dfrac{C}{x}

\dfrac{x }{y }=\dfrac{x+C}{x}

\boxed{y=\dfrac{x^2}{x+C}}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
imi2 imi2  30.11.2020 14:39
{y - 6x = - 25, {y - x = - 5;ПОМАГИТЕ...
olya1234567890r olya1234567890r  30.11.2020 14:39
Найдите уравнение 2arccosx = a + a ^ 2 / arccosx для любого действительного значения параметра a.​...
КирилБадабумшик КирилБадабумшик  30.11.2020 14:39
1)Определи y(5), если y(m)= m+7,5. 2)Вычисли значение выражения y=8,2+9a, если a=9. 3)Скорость катера в стоячей воде равна x км/ч, а скорость течения реки равна 3,5...
Lopkrtjvbbcx Lopkrtjvbbcx  16.03.2021 18:59
Чтобы перевезти 12 тонн(-ы) груза, требуется определённое количество автомашин. В связи с ремонтом дороги в каждую автомашину было загружено на 1 тонн(-ы, -у) меньше,...
Yarina0311 Yarina0311  16.03.2021 18:59
AD || BC, угол 1 = 50°, угол 2 = 65°.Найти: угол ABC. ​...
Котполиглот Котполиглот  16.03.2021 18:59
решите все в письменном варианте​...
Adashok Adashok  16.03.2021 18:58
Запиши алгебраическое выражение : а) (2а+3b)(4a^2-6ab+9b^2) в виде суммы кубов двух выражений b) (y+2x)^3 в виде многочлена...
Jicker Jicker  03.05.2020 12:42
Решите систему уравнений сложения: 2х-3у=8 7х-5у=-5 На фото покажу как оно выглядит....
Фприт Фприт  03.05.2020 12:41
Роль математики в современном мире....
mneholodno mneholodno  03.05.2020 12:41
нужно !розв яжіть нерівність ​...

Популярные вопросы