Выяснить, делится ли многочлен p(x) на x-a, если: p(x)=7x^16+4x^13-3x^10, a=-1

Да, делится.

Объяснение:

x - a при а = -1 превращается в x+1.

P(x) = 7x^16 + 4x^13 - 3x^10 = x^10*(7x^6 + 4x^3 - 3) =

= x^10*(7x^6+7x^5-7x^5-7x^4+7x^4+7x^3-3x^3-3x^2+3x^2+3x-3x-3) =

= x^10*(7x^5*(x+1)-7x^4*(x+1)+7x^3*(x+1)-3x^2*(x+1)+3x*(x+1)-3(x+1)) =

= x^10*(x+1)*(7x^5-7x^4+7x^3-3x^2+3x-3)

Если многочлен P(x) делится на x-a, то его можно представить как G(x)·(x-a), где G(x) частное от деления. То есть многочлен P(x) точно имеет корень a. Подставим -1 вместо х в многочлен P(x). Если выражение обратится в ноль, то P(x) делится на (x-a), при a = -1.

7·(-1)¹⁶+4·(-1)¹³-3·(-1)¹⁰ = 7·1+4·(-1)-3·1 = 7-4-3 = 0

ответ: да, делится.