Вывести формулу (cosx)'=-sinx
Тема: Производная​

ответ=========

Объяснение:во вложении

Добрый день! Конечно, я помогу вам разобраться с этим вопросом.

Для начала давайте вспомним, что такое производная. Производная функции определяет, как изменяется значение функции в каждой точке графика функции.

Теперь, чтобы вывести формулу для производной функции cos(x), мы будем использовать определение производной и некоторые математические свойства.

Прежде всего, воспользуемся определением производной. Оно гласит, что производная функции f в точке x, обозначаемая f'(x), равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к нулю:

f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h.

В нашем случае у нас есть функция cos(x), поэтому будем использовать это определение для нее.

Итак, начнем:

1. Подставим f(x) = cos(x) в определение производной:

f'(x) = lim(h->0) [cos(x + h) - cos(x)] / h.

2. Используем формулу для разности косинусов:

f'(x) = lim(h->0) [cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x)] / h.

3. Перепишем это выражение:

f'(x) = lim(h->0) [cos(x)(cos(h) - 1) - sin(x)sin(h)] / h.

4. Теперь мы можем разбить данную формулу на две части:

f'(x) = lim(h->0) [cos(x)(cos(h) - 1)] / h - lim(h->0) [sin(x)sin(h)] / h.

5. Рассмотрим каждую часть отдельно:

а) lim(h->0) [cos(x)(cos(h) - 1)] / h.
Заметим, что (cos(h) - 1) можно заменить на -2sin^2(h/2) (это следует из тригонометрической формулы cos(x) - cos(y) = -2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)).

Теперь получаем:

lim(h->0) [cos(x)(-2sin^2(h/2))] / h.

Разложим cos(x) на два множителя:

lim(h->0) [-2cos(x)sin^2(h/2)] / h.

Т.к. sin^2(h/2)/h - это малое выражение при стремлении h к нулю, можно записать, что его предел равен нулю.

Получаем:

lim(h->0) [-2cos(x)sin^2(h/2)] / h = -2cos(x)lim(h->0) [sin^2(h/2)] / h = -2cos(x) * 0 = 0.

б) lim(h->0) [sin(x)sin(h)] / h.

Вспомним тригонометрическую формулу sin(a)sin(b) = (1/2)(cos(a-b) - cos(a+b)).

Применим эту формулу:

lim(h->0) [sin(x)sin(h)] / h = (1/2)lim(h->0) [(cos(x-h) - cos(x+h))] / h.

Теперь воспользуемся свойством предела разности:

(1/2)lim(h->0) [cos(x-h) - cos(x+h)] / h = (1/2)(lim(h->0) [cos(x-h)/h] - lim(h->0) [cos(x+h)/h]).

Заметим, что пределы в последнем выражении можно записать в виде производных, а именно:

(1/2)(lim(h->0) [cos(x-h)/h] - lim(h->0) [cos(x+h)/h]) = (1/2)(cos'(x) - cos'(x)).

Таким образом, оба предела равны по определению производной функции cos(x) в точках x и, следовательно, отнимаются друг от друга:

(1/2)(cos'(x) - cos'(x)) = (1/2)(0 - 0) = 0.

Таким образом, мы получаем, что:

f'(x) = 0 - 0 = 0.

Следовательно, (cosx)' = -sinx.

Именно так мы выводим формулу (cosx)' = -sinx.