Выведи формулу суммы геометрической прогрессии

умножить каждое слагаемое на q

Привет! Я рад принять роль школьного учителя и помочь тебе разобраться с вопросом о сумме геометрической прогрессии.

Для начала, давай определим, что такое геометрическая прогрессия. Это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем умножения предыдущего числа на определенное число, называемое знаменателем прогрессии, обозначим его буквой q.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

aₙ = a₁ * q^(n-1),

где aₙ - n-й член геометрической прогрессии,
a₁ - первый член геометрической прогрессии,
q - знаменатель геометрической прогрессии,
n - номер члена геометрической прогрессии, который мы хотим найти.

Теперь, чтобы вывести формулу для суммы геометрической прогрессии, умноженной на q, нам нужно представить эту сумму как разность двух геометрических прогрессий.

Пусть Sₙ будет суммой первых n членов геометрической прогрессии, а Sₙ' будет суммой первых n членов геометрической прогрессии, умноженной на q. Тогда мы можем записать:

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ,
Sₙ' = a₁q + a₂q + a₃q + ... + aₙq.

Теперь давай найдем разницу между этими двумя суммами, вычитая Sₙ из Sₙ':

Sₙ' - Sₙ = (a₁q + a₂q + a₃q + ... + aₙq) - (a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ).

Мы можем заметить, что каждый член прогрессии в Sₙ' равен 'aₖq', где 'aₖ' - это k-й член прогрессии без умножения на q. Поэтому мы можем переписать разность следующим образом:

Sₙ' - Sₙ = (a₁q + a₂q + a₃q + ... + aₙq) - (a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ) = (a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ)(q - 1).

Теперь, чтобы получить формулу для Sₙ', нам нужно выразить эту разность через Sₙ.

Sₙ' = Sₙ(q - 1).

Таким образом, формула для суммы геометрической прогрессии, умноженной на q, будет:

Sₙ' = Sₙ(q - 1).

Эта формула позволяет нам вычислить сумму первых n членов геометрической прогрессии, умноженной на q.

Надеюсь, я смог дать подробное объяснение и пошаговое решение этой задачи! Если у тебя есть еще вопросы или нужна помощь с другим математическим вопросом, обращайся!