Вычислите
1-2+3-4+...+2007+2008+2009+2010. ​

Для решения этой задачи нам понадобится использовать арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число. В данной задаче последовательность состоит из сумм чисел, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на 1. Сначала взглянем на первые несколько членов последовательности, чтобы определить закономерность.

1-2+3-4+5-6+...=?

Давайте добавим скобки, чтобы лучше видеть группы чисел:

(1-2)+(3-4)+(5-6)+...

Теперь давайте посмотрим на каждую пару чисел в скобках:

1-2 = -1
3-4 = -1
5-6 = -1
...

Как видно, каждая пара чисел в скобках даёт нам -1. В каждой паре первое число является положительным, а второе число отрицательным. Таким образом, можно сделать вывод, что вся сумма будет включать в себя 2 группы сумм:

Группа 1: (1+3+5+...+2009)
Группа 2: (-2-4-6-...-2010)

Обратите внимание, что числа в каждой группе составляют арифметическую прогрессию с разностью равной 2 (3-1=2, 5-3=2 и т.д.) и включают в себя границы заданного диапазона.

Теперь мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

Сумма = (количество членов / 2) * (первый член + последний член)

Для Группы 1:
Количество членов = (2009 - 1) / 2 + 1 = 1005
Первый член = 1
Последний член = 2009

Сумма Группы 1 = (1005 / 2) * (1 + 2009) = 1005 * 2010 = 2015050

Для Группы 2:
Количество членов = (2010 - 2) / 2 + 1 = 1005
Первый член = -2
Последний член = -2010

Сумма Группы 2 = (1005 / 2) * (-2 - 2010) = 1005 * (-2012) = -2025060

Теперь сложим суммы Группы 1 и Группы 2:

Сумма = 2015050 + (-2025060) = -10010

Итак, сумма 1-2+3-4+...+2007+2008+2009+2010 равна -10010.