Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: у = 3 − х^2, у = 1 + |х|

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом нам нужно найти точки пересечения данных двух функций. Для этого приравняем выражения функций друг к другу и решим полученное уравнение:

3 - х^2 = 1 + |х|

Для удобства отдельно рассмотрим два случая, когда х положительный и отрицательный:

1. Пусть х > 0:

Тогда уравнение примет вид: 3 - х^2 = 1 + х

Перенесем все в одну часть уравнения: -х^2 - х + 2 = 0

Решим данное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

Дискриминант D = (-1)^2 - 4*(-1)*2 = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант положительный, имеем два корня: x1 = (-(-1) + √9) / (2*(-1)) = (1 + 3) / (-2) = -2, и x2 = (-(-1) - √9) / (2*(-1)) = (1 - 3) / (-2) = 1.

2. Пусть х < 0:

Тогда уравнение примет вид: 3 - х^2 = 1 - х

Перенесем все в одну часть уравнения: -х^2 + х + 2 = 0

Решим данное квадратное уравнение так же, как в предыдущем случае:

Дискриминант D = (1)^2 - 4*(-1)*2 = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант положительный, имеем два корня: x3 = (-1 + √9) / (2*(-1)) = (1 + 3) / (-2) = -2, и x4 = (-1 - √9) / (2*(-1)) = (1 - 3) / (-2) = 1.

Итак, у нас получились четыре точки пересечения: (-2, 1), (1, 1), (-2, 3) и (1, 3). Построим графики данных функций и разделим фигуру, ограниченную ими, на две части.

Теперь рассмотрим первую часть фигуры, ограниченную данными функциями в интервале от -2 до 1. Для этого нам нужно рассмотреть, какая из функций на этом отрезке находится выше.

1. Функция y = 3 - x^2
- В точке (-2, 3) функция принимает значение y = 3 - (-2)^2 = 3 - 4 = -1
- В точке (1, 3) функция принимает значение y = 3 - (1)^2 = 3 - 1 = 2
- В точке (-2, 1) функция принимает значение y = 3 - (-2)^2 = 3 - 4 = -1
- В точке (1, 1) функция принимает значение y = 3 - (1)^2 = 3 - 1 = 2

2. Функция y = 1 + |x|
- В точке (-2, 1) функция принимает значение y = 1 + |-2| = 1 + 2 = 3
- В точке (1, 1) функция принимает значение y = 1 + |1| = 1 + 1 = 2
- В точке (-2, 3) функция принимает значение y = 1 + |-2| = 1 + 2 = 3
- В точке (1, 3) функция принимает значение y = 1 + |1| = 1 + 1 = 2

Из вышеперечисленного видно, что на отрезке от -2 до 1 функция y = 1 + |x| находится всегда выше функции y = 3 - x^2.

Теперь можно вычислить площадь фигуры. Для этого продолжим пошаговое решение:

1. Разделим фигуру на две части:
- Часть 1 - треугольник, ограниченный функциями y = 1 + |x|, y = 3 - x^2 и осью x.
- Часть 2 - прямоугольник, ограниченный функциями y = 1 + |x|, y = 3 - x^2 и вертикальной линией x = 1.

2. Рассчитаем площадь каждой из этих частей:
- Площадь треугольника: S1 = (1/2) * основание * высота = (1/2) * (1 - (-2)) * (3 - (1 + 2)) = (1/2) * 3 * 0 = 0
- Площадь прямоугольника: S2 = сторона * сторона = (1 - (-2)) * (3 - 1) = 3 * 2 = 6

3. Наконец, найдем суммарную площадь фигуры, сложив площадь треугольника и прямоугольника: S = S1 + S2 = 0 + 6 = 6

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 3 - x^2 и y = 1 + |x|, равна 6 пунктам квадратным (единицам площади).