Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах a-3b и a-4b если IaI=3; IbI=2 угол (a^b)=90

Liza81818191 Liza81818191    3   15.01.2021 08:33    0

Ответы
njjk1 njjk1  14.02.2021 08:33

Площадь параллелограмма равна произведению длин смежных его сторон на синус угла между ними.

Так как угол между векторами \vec{a} и \vec{b}, то их скалярное произведение равно 0:

\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot\cos 90^\circ=3\cdot2\cdot0=0

Найдем длины сторон параллелограмма:

\left|\vec{a}-3\vec{b}\right|^2=|\vec{a}|^2+9|\vec{b}|^2-6\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=3^2+9\cdot2^2-6\cdot0=9+36=45

\Rightarrow\left|\vec{a}-3\vec{b}\right|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}

\left|\vec{a}-4\vec{b}\right|^2=|\vec{a}|^2+16|\vec{b}|^2-8\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=3^2+16\cdot2^2-8\cdot0=9+64=73

\Rightarrow\left|\vec{a}-4\vec{b}\right|=\sqrt{73}

Найдем скалярное произведение векторов \vec{a}-3\vec{b} и \vec{a}-4\vec{b}:

(\vec{a}-3\vec{b})(\vec{a}-4\vec{b})=|\vec{a}|^2-3\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)-4\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)+12|\vec{b}|^2=3^2+12\cdot2^2=57

Запишем скалярное произведение через произведение длин векторов и косинуса угла между ними \gamma:

(\vec{a}-3\vec{b})(\vec{a}-4\vec{b})=|\vec{a}-3\vec{b}|\cdot|\vec{a}-4\vec{b}|\cdot\cos\gamma

Подставим известные величины:

3\sqrt{5} \cdot\sqrt{73} \cdot\cos\gamma=57

Выразим косинус:

\cos\gamma=\dfrac{57}{3\sqrt{5} \cdot\sqrt{73}} =\dfrac{57}{3\sqrt{365}}

С основного тригонометрического тождества найдем синус:

\sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma}

\sin\gamma=\sqrt{1-\left(\dfrac{57}{3\sqrt{365}}\right)}= \sqrt{1-\dfrac{3249}{3285}} = \sqrt{\dfrac{36}{3285}} =\dfrac{6}{3\sqrt{365} } =\dfrac{2}{\sqrt{365} }

Определим искомую площадь параллелограмма:

S=\left|\vec{a}-3\vec{b}\right|\cdot\left|\vec{a}-4\vec{b}\right|\cdot\sin\gamma

S=3\sqrt{5} \cdot\sqrt{73} \cdot\dfrac{2}{\sqrt{365} } =6

ответ: 6

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра