Втреугольнике с вершинами в точках a (4; 5; 0), b (2; 3; 0) и c (2; 5; 2) найдите в градусах сумму углов при основании ac.

elbrosso elbrosso    2   31.03.2019 04:40    1

Ответы
Zhenya2099 Zhenya2099  27.05.2020 20:46

Решаю векторами.

 

Компоненты векторов \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} и \overrightarrow{CB}:

 

\overrightarrow{AB} = \textbf{r}_B - \textbf{r}_A = \{ -2; -2; 0 \}

 

\overrightarrow{AC} = \textbf{r}_C - \textbf{r}_A = \{ -2; 0; 2 \}

 

\overrightarrow{CB} = \textbf{r}_B - \textbf{r}_C = \{ 0; -2; -2 \}

 

Нормы (модули, величины, длины) этих векторов:

 

\left|\overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{(-2)^2+0^2+2^2} = \sqrt{8}

 

\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+0^2} = \sqrt{8}

 

\left|\overrightarrow{CB}\right| = \sqrt{0^2+(-2)^2+(-2)^2} = \sqrt{8}

 

Угол между векторами \overrightarrow{AC} и \overrightarrow{AB}:

 

cos \angle \left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}\right) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AC}\right| \left|\overrightarrow{AB}\right|}

 

Скалярное произведение

 

\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = (-2) \cdot (-2) + 0 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 = 4

 

Имеем

 

cos \angle \left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}\right) = \frac{4}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{8}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

 

В градусах:

 

arccos \: \frac{1}{2} = 60^{\circ}

 

Угол между векторами \overrightarrow{AC} и \overrightarrow{CB}:

 

cos \angle \left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB}\right) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{AC}\right| \left|\overrightarrow{CB}\right|}

 

Скалярное произведение

 

\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = (-2) \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) = -4

 

Имеем

 

cos \angle \left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB}\right) = \frac{-4}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{8}} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}

 

В градусах:

 

arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = 120^{\circ}

 

Нас интересует угол

 

\angle \left(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\right) = 180^{\circ} - \angle \left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB}\right) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}

 

Сумма углов будет

 

60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра