Вероятность того, что лампа останется неисправной после 1000 часов работы, равна 0.2. Какова вероятность того, что из 5 лам не менее 3 останутся исправными после 1000 часов работы?

Добрый день!

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать биномиальное распределение. Давайте сначала разберемся с понятием биномиального распределения.

Биномиальное распределение применяется в случае проведения серии независимых экспериментов, в каждом из которых возможны только два исхода: успех или неудача (в нашем случае – исправная или неисправная лампа). При этом вероятность успеха (исправной лампы) остается постоянной для каждого эксперимента и обозначается буквой p.

Один эксперимент называется испытанием Бернулли. Вероятность успеха в эксперименте обозначается как p, а вероятность неудачи обозначается как q = 1 - p.

Теперь обратимся к задаче. Нам нужно найти вероятность того, что из 5 ламп не менее 3 останутся исправными после 1000 часов работы.

Мы можем использовать биномиальное распределение, где p = 0.2 (вероятность неисправности) и q = 0.8 (вероятность исправности).

Вероятность того, что из 5 ламп не менее 3 останутся исправными, можно найти суммированием вероятностей всех комбинаций, где у нас 3, 4 или 5 исправных ламп.

Давайте разложим это на шаги:

Шаг 1: Найдем вероятность того, что все 5 ламп исправны. Это будет p^5 = 0.2^5.

Шаг 2: Найдем вероятность того, что 4 лампы исправны и одна неисправна. Для этого нам нужно умножить вероятность неисправности одной лампы на вероятность исправности остальных четырех ламп и умножить на число способов выбрать одну неисправную лампу из 5, что равно C(5,1). Выглядит это так: C(5,1) * p^4 * q^1.

Шаг 3: Найдем вероятность того, что 3 лампы исправны и две неисправны. Для этого мы поступим аналогично предыдущему шагу, но теперь число способов выбрать две неисправные лампы из пяти будет равно C(5,2). То есть, это будет C(5,2) * p^3 * q^2.

Теперь осталось просуммировать вероятности всех трех случаев:

Вероятность не менее 3 исправных ламп = p^5 + C(5,1) * p^4 * q^1 + C(5,2) * p^3 * q^2

Теперь подставим значения p и q и вычислим это выражение:

Вероятность не менее 3 исправных ламп = 0.2^5 + C(5,1) * 0.2^4 * 0.8^1 + C(5,2) * 0.2^3 * 0.8^2

Необходимо также учесть, что C(5,1) = 5 и C(5,2) = 10. Подставим эти значения:

Вероятность не менее 3 исправных ламп = 0.2^5 + 5 * 0.2^4 * 0.8^1 + 10 * 0.2^3 * 0.8^2

Теперь остается только произвести все вычисления и получить ответ.

Надеюсь, что решение было достаточно подробным и понятным! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь!