1. Алгебра
  2. В поле комплексных чисел

В поле комплексных чисел решить уравнение:
|z|+|z+i|=1.

ser73 ser73    2   27.03.2020 08:53    0

Ответы
endd1 endd1  12.10.2020 06:38

|z|+|z+i|=1

Представим число z виде x+yi:

|x+yi|+|x+yi+i|=1

|x+yi|+|x+(y+1)i|=1

\sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x^2+(y+1)^2}=1

\sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{x^2+y^2+2y+1}=1

Замена: x^2+y^2=a\geq 0

\sqrt{a} +\sqrt{a+2y+1}=1

Возведем левую и правую части в квадрат:

(\sqrt{a} +\sqrt{a+2y+1})^2=1^2

a +a+2y+1+2\sqrt{a} \cdot\sqrt{a+2y+1}=1

2a+2y+2\sqrt{a^2+2ay+a}=0

a+y+\sqrt{a^2+2ay+a}=0

\sqrt{a^2+2ay+a}=-(a+y)

Еще раз возведем в квадрат, учитывая, что a+y\leq 0:

(\sqrt{a^2+2ay+a})^2=(-(a+y))^2

a^2+2ay+a=a^2+2ay+y^2

a=y^2

Обратная замена:

x^2+y^2=y^2

x^2=0

\Rightarrow x=0

Подставим значение х:

\sqrt{0^2+y^2} +\sqrt{0^2+(y+1)^2}=1

\sqrt{y^2} +\sqrt{(y+1)^2}=1

|y| +|y+1|=1

Моули раскроем при трех случаях.

Если x:

-y -y-1=1

-2y =2

y=-1 - решение не из рассматриваемого диапазона

Если -1\leq y\leq 0:

-y +y+1=1

1=1

Верное равенство, значит любой у из отрезка -1\leq y\leq 0 - решение

Если y0:

y +y+1=1

2y=0

y=0 - решение не из рассматриваемого диапазона

Таким образом, решениями являются все числа вида z=x+yi, где x=0,\ y\in[-1;\ 0], или, записывая проще, z=yi, где y\in[-1;\ 0]

ответ: z=yi, где y\in[-1;\ 0]

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
iobolenkov iobolenkov  30.04.2020 12:59
Разложи на множители х^2-2=2*(х^2-1)=2*( дальше ответ)...
Таня5463 Таня5463  30.04.2020 12:59
Реши систему уравнений алгебраического сложения. Только чему равно u и v​...
булати булати  30.04.2020 12:59
Перша бригада може прокласти дорогу на 3 дні швидше, ніж друга. Якщо перша бригада пропрацює 6 днів, а потім друга — 4 дні, то вони прокладуть усю дорогу. За скільки днів може прокласти...
итд4 итд4  30.04.2020 12:59
4.Один із коренів рівняння у2+17у+с=0 дорівнює −12. Знайти другий корінь і вільний член с. 5. Знайти, при якому значенні а рівняння 3х2−6х+а=0 має один корінь і знайти цей корінь....
ИзмМалика ИзмМалика  30.04.2020 12:59
Всем привет!Нужна по постройке графиков функций)​...
lisofoxi lisofoxi  30.04.2020 12:59
Какое из этих уравнение имеет бесконечное количество кореней? 1 - 3(x+5) = 3x+15 2 - 3(x+5) = 3x+5 3 - 3(x+5) = 3x+3 4 - 3(x+5) = 3x+8...
динакоровина динакоровина  30.04.2020 12:59
Вариант I1. Решите неравенства:а) 4х2 – 4х – 15 0 ; в) х 2 1,7х ;б) х2 – 81 0 ; г) х (х + 3) – 6 3(х + 1) 2. Решите неравенства методом интервалов:а) (х + 8)(х – 3) 0 ; б) ; в) х3...
BrainNotBrain BrainNotBrain  30.04.2020 12:59
При в якому значенні а система рівнянь.має або немає розвязку​...
Zlowmak Zlowmak  22.08.2019 09:00
√2х-1-√х-4=√х-1 . решить.дочь спрашивает,а я уже все позабыла...
progames2002 progames2002  22.08.2019 09:00
Разложить на множители: 1) xy+xz-ay-az 2 2 2 2 2)ax - bx + ax - ay - bx + by...

Популярные вопросы