Упростить выражение cos²a–cos(30°+a)cos(30°–a)

(применить формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность, применить формулы двойного угла)

Відповідь:

Для упрощения данного выражения применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность:

cos(30° + a) = cos 30° cos a - sin 30° sin a = √3/2 cos a - 1/2 sin a

cos(30° - a) = cos 30° cos a + sin 30° sin a = √3/2 cos a + 1/2 sin a

Теперь заменим полученные значения в исходном выражении:

cos²a - cos(30° + a) cos(30° - a) = cos²a - (√3/2 cos a - 1/2 sin a)(√3/2 cos a + 1/2 sin a)

Раскроем скобки:

= cos²a - (√3/2 cos a)² + (1/2 sin a)²

= cos²a - 3/4 cos²a + 1/4 sin²a

Теперь объединим члены с cos²a и sin²a:

= (1 - 3/4) cos²a + 1/4 sin²a

= 1/4 cos²a + 1/4 sin²a

Таким образом, упрощенное выражение равно 1/4 cos²a + 1/4 sin²a.

Пояснення: