У рівнобічну трапецію вписано коло, Відстань від центра кола до точки перетииу ліагоналей трапеції відноситься до радіуса кола, як 3:5, Знайти плошу трапеції, якщо її бічна сторона дорівнюе 10 см.

ответ:  =40cm2

Объяснение:

Пусть трапеция АВСD, где AD>BC  и AD, BC- основания.

Если в трапецию вписана окружность , то суммы противоположных сторон равны.

AB+CD=BC+AD=20

Пусть О центр вписанной окружности, Р точка пересечения диагоналей.

ОМ - радиус окружности , причем так как трапеция равнобочная, то Р лежит на ОМ.  

Так как окружность вписанная, то ОМ является половиной высоты трапеции. Продолжим МО до пересечения с AD  в точке K.

МК- высота трапеции.

Рассмотрим треугольники APD и CPB.  Они подобны по 2-м углам.

( подробно не буду это доказывать, но понятно, что DBC = BDA- накрест лежащие. ). Коэффициент подобия будет равен отношению соответствующих элементов этих треугольников.

Заметим, что КР и МР соответственно высоты треугольников APD и CPB.

Тогда k= KP/MP

Обозначим ОР=3х Тогда ОМ=5х,  МР=5х-3х=2х,  КР= ОК+ОР=5х+3х=8х

Тогда  k= KP/MP  =8х/2x=4

Тогда AD:BC=4

=> BC=y  => AD=4*y

BC+AD=20 = y+4*y

5*y=20

y=BC=4

AD= BC*k= 4*4=16

Проведем теперь высоту ВН.

АН= (AD-BC):2= (16-4):2=6 cm ( так как трапеция равнобочная)

Тогда из треугольника АВН по т.Пифагора имеем:

ВН= sqrt(BA^2-Ah^2)=sqrt(100-36)=8

S(ABCD)=(AD+BC)*BH/2= 20*8/2=40cm2

То есть k=