[tex]ctg(\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi*sin^{2}(x)+\pi}{4sin^{6}(x)+1})-tg(\frac{\pi}{4sin^{6}(x)+1})=/tex]
как это решать? 100

Ответы

NastyaVoitelnicha 10.10.2020 14:31

Данное уравнение равносильно уравнению

$tg(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x+\pi}{4sin^{6}x+1})=tg(\frac{\pi}{4sin^{6}x+1})\\\\\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x+\pi}{4sin^{6}x+1}=\frac{\pi}{4sin^{6}x+1}+\pi\:n\\\\\frac{1}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}+\frac{1}{4sin^{6}x+1}=\frac{1}{4sin^{6}x+1}+n\\\\\frac{1}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}=n\\\\$

n ∈ Z

Рассмотрим более пристально выражение $\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\\\\$ , которое можно записать в следующем виде:

$\frac{1}{2sin^{4}x+\frac{1}{2sin^{2}x}}=\frac{1}{2sin^{4}x-2sin^{2}x+(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})}=\frac{1}{-sin^{2}x*cos^{2}x+(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})}=\\\\=\frac{1}{(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})-\frac{sin^{2}2x}{2}}\\\\$

Так как $2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}\geq 2\\\\$ (сумма двух положительных взаимно обратных величин), $\frac{sin^{2}2x}{2}\geq\frac{1}{2}\\\\$ , то $2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}-\frac{sin^{2}2x}{2}\geq\frac{3}{2}\\\\$ , а значит, $0\leq\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\leq\frac{2}{3}\\\\$

Однако выражение $\frac{1}{3}+\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\\\\$ должно быть целым, что возможно только при $\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}=\frac{2}{3}\\\\$ . Это равенство, в свою очередь, выполняется, если и только если

$2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}-\frac{sin^{2}2x}{2}=\frac{3}{2}\\\\$

$\left\{{{2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}=2}\atop{sin^{2}2x=1}}\right.\:\:\:\:\:\:\left\{{{sin^{2}x=\frac{1}{2}}\atop{cos^{2}x=\frac{1}{2}}}\right.\:\:\:\:\:\:x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\:k}{2}\\\\$ , k ∈ Z