Теорема произведения вероятностей

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.P(AB)=P(A)⋅P(B|A)

Объяснение:

Событие A называется независимым от событияB, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

Вероятность события A, вычисленная при условии, что имело место другое событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается P(A|B) .

Условие независимости события A от события B можно записать в виде:

P(A|B)=P(A)

а условие зависимости - в виде:

P(A|B)≠P(A)

Следствие 1. Если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A .

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(AB)=P(A)⋅P(B)

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

P(A1A2…An)=P(A1)⋅P(A2|A1)⋅P(A3|A1A2)⋯⋯P(An|A1A2…An−1)

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

P(A1A2…An)=P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)⋅…⋅P(An)

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: