Сколько корней имеет уравнения 2tgx+3ctg x=5 на промежутке [0; 360°]
​

Для начала, давайте перепишем уравнение и приведем его к общей форме. У нас есть уравнение: 2tgx + 3ctgx = 5.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать знания о тригонометрических функциях. Заметим, что ctgx является обратной функцией к tgx. Поэтому мы можем записать уравнение в виде:

2tgx + 3(1/tgx) = 5.

Чтобы избавиться от знаменателей в уравнении, мы можем умножить обе части на tgx:

2tgx * tgx + 3 = 5 * tgx.

Теперь мы можем записать уравнение в виде квадратного уравнения:

2tg^2x - 5tgx + 3 = 0.

Далее, давайте решим это квадратное уравнение методом факторизации. Перепишем уравнение:

(2tgx - 3)(tgx - 1) = 0.

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1) 2tgx - 3 = 0. Решим это уравнение:

2tgx = 3,
tgx = 3/2.

Теперь найдем значение угла x, для которого tgx = 3/2. Мы знаем, что tgx = sinx/cosx, поэтому можем записать:

sinx/cosx = 3/2.

Мы также знаем, что sinx и cosx относятся друг к другу через тригонометрическую идентичность:

sin^2x + cos^2x = 1.

Мы можем записать cosx через sinx, используя эту идентичность:

1 - sin^2x + cos^2x = 1,
cos^2x = 1 - sin^2x.

Теперь мы можем подставить это в уравнение:

sinx/(1 - sin^2x) = 3/2,
sinx = 3/2 - 3sin^2x/2.

Теперь мы можем записать это уравнение в квадратном виде:

3sin^2x/2 + sinx - 3/2 = 0.

Здесь у нас на руках уже квадратное уравнение относительно sinx. После его решения, мы сможем получить значение sinx и затем использовать это значение, чтобы найти соответствующие значения для угла x.

2) tgx - 1 = 0. Решим это уравнение:

tgx = 1.

Аналогично предыдущему случаю, мы можем использовать идентичность sin^2x + cos^2x = 1, чтобы связать sinx и cosx, а затем решить уравнение, чтобы найти значения для угла x.

Таким образом, мы разделили исходное уравнение на два уравнения, которые мы можем решить. Окончательное количество корней будет зависеть от того, сколько корней мы найдем для каждого из этих двух уравнений.