Sin2x-cos2x=tgx.можно ли обе части уравнения разделить на cosx?

Деление на cos x  в данном уравнении возможно, потому что соs x подразумевается отличным от нуля, так как написан в знаменателе у tgx.
Но как метод решения уравнения (деление на косинус в данном уравнении) не  правильный.
Так как имеются разные аргументы 2х и х, то надо заменить аргумент 2х на х
по формулам
sin2x=2·sinx·cosx
cos2x=cos²x-sin²x=1-sin²x-sin²x=1-2·sin²x

2·sinx·cosx-(1-2sin²x)=tgx
2·sinx·cosx-1+2sin²x-(sinx/cosx)=0
Теперь умножим все уравнение на cosx, при этом cosx≠0 иначе tgx не существует.
2·sinx·cos²x-cosx+2sin²x·cosx-sinx=0,
Разложим на множители, группируем первое и третье слагаемые, второе и четвертое:
2·sinx·cosx(cosx+sinx)-(cosx+sinx)=0,
(cosx+sinx)(2sinx·cosx-1)=0
Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю:
1) cosx+sinx=0 - однородное уравнение, делим на cosx≠0
   tgx=-1
   x=-π/4  + πk, k ∈Z
2) 2·sinx·cosx-1=0
     sin2x=1,
     2x=π/2  + 2πn,  n∈Z
     x=π/4 +πn ,  n ∈ Z

ответ. x=-π/4  + πk, x=π/4 +πn , k, n ∈ Z
два ответа можно записать как один ответ х=π/4 + πm/2,  m∈Z

Конечно можно. применив формулы двойного угла. sin2x=2sinx*cosx,
cos2x=cos^2x-sin^2x.