Решите в целых числах уравнение x^4-2y^4-4z^4-8t^4=0.

ку как получить 1ч 26мин +2ч 34мин

 

 

Хорошо, давайте решим это уравнение по шагам.

1. Начнем с заданного уравнения:
x^4 - 2y^4 - 4z^4 - 8t^4 = 0

2. Попробуем преобразовать уравнение, чтобы упростить его вид. Заменим y^4 на u, z^4 на v и t^4 на w:
x^4 - 2u - 4v - 8w = 0

3. Поделим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента в уравнении:
(x^4)/2 - u - 2v - 4w = 0

4. Заметим, что x^4/2 - u является разностью квадратов. Разобьем первое слагаемое на разность квадратов:
(x^4/2 - u) - 2v - 4w = 0
((x^2)^2)/2 - u - 2v - 4w = 0

5. Продолжим упрощать уравнение:
(((x^2)^2)/2) - (u + 2v + 4w) = 0

6. Заменим сумму u + 2v + 4w на k:
(((x^2)^2)/2) - k = 0

7. Придадим уравнению квадратный вид:
((x^2)^2)/2 = k

8. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
((x^2)^2)^2/2 = k^2

9. Упростим:
(x^2)^4/2 = k^2

10. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
(x^2)^4 = 2k^2

11. Восстановим переменные u, v и w:
(y^4)^2 = 2(u + 2v + 4w)^2

12. Заметим, что u + 2v + 4w является суммой кубов. Заменим это на m:
(y^4)^2 = 2m^2

13. Приведем выражение к квадратному виду:
y^8 = 2m^2

14. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(y^8)^2 = (2m^2)^2

15. Упростим:
y^16 = 4m^4

16. Распишем y^16 как (y^8)^2:
(y^8)^2 = 4m^4

17. Заметим, что 4m^4 является разностью квадратов. Разложим его:
(y^8)^2 = (2m^2 + 2m)(2m^2 - 2m)

18. Упростим разность квадратов:
(y^8)^2 = 4m(m^2 + m)(m^2 - m)

19. Заметим, что m(m^2 + m)(m^2 - m) является произведением трех последовательных целых чисел. Обозначим их как p, p+1 и p+2:
(y^8)^2 = p(p+1)(p+2)

20. Таким образом, уравнение x^4 - 2y^4 - 4z^4 - 8t^4 = 0 может быть эквивалентно уравнению (y^8)^2 = p(p+1)(p+2), где p, p+1 и p+2 являются последовательными целыми числами.

Таким образом, решение исходного уравнения сводится к поиску целых значений для p, p+1 и p+2, которые удовлетворяют уравнению (y^8)^2 = p(p+1)(p+2). Обратите внимание, что это равенство будет справедливым только если каждый из трех сомножителей p, (p+1) и (p+2) является точным квадратом.