Решите уравнение x^2-px+q=0, где p и q — простые числа, и если один корень также является простым числом.

Перепишем уравнение в виде x(p - x) = q. Подставим x = q' - тот корень, о котором говорилось в условии:

q' (p - q') = q                                 (*)

Левая часть делится на q', поэтому и правая часть делится на q', то есть q делится на q'. Поскольку q простое, то у него есть только один простой делитель - само q. Отсюда q' = q, и равенство (*) принимает следующий вид:

q (p - q) = q

Сокращаем обе части на ненулевое q, получаем:

p - q = 1

Так как разность двух целых чисел равна нечётному числу 1, то уменьшаемое и вычитаемое - числа разной чётности, то есть одно из чисел p, q четное, а другое нечетное. Существует только одно четное простое число - двойка - это наименьшее простое число. Так как разность p - q положительная, то q = 2, и, соответственно, p = 1 + 2 = 3.

Таким образом, исходное уравнение выглядит так:
x^2 - 3x + 2 = 0

Корни этого уравнения x = 2 и x = 1.

ответ. x = 2, x = 1.



По-другому к задаче можно было подойти, например, основываясь на теореме Виета. Сначала заметим, что если у данного квадратного уравнения найдется один целый корень, то и второй корень также целый (это можно понять, просто вспомнив формулу корней квадратного уравнения, или поняв, что сумма корней целая). Затем, поскольку сумма корней положительна, а произведение - простое число q, то корни уравнения равны 1 и q. Тогда сумма корней p = 1 + q, откуда q = 2, p = 3.
По этому решению, к слову, видно, что условие задачи содержит лишние данные: для решения достаточно факта, что один из корней целый (простота не требуется).