Решите уравнение (sin 2pix)+(cos pix)=0. в ответ запишите суммукорней уравнения, принадлежащих отрезку [-1; 1].

Ответы

Duma10 26.07.2020 21:28

$sin2 \pi x+cos \pi x=0 \newline
2sin( \pi x)cos \pi x+cos \pi x=0$
Тут применили формулу для синуса двойного угла.
$cos( \pi x)*(2sin(\pi x)+1)=0$ (2)
Далее уравнение (2) "распадается " на 2 части.
1) $cos \pi x=0$ (3)
Решение
$\pi x= \frac{ \pi }{2} + \pi k$ где k - целое.
$x=\frac{1}{2} + k$ (4)

2) $2sin( \pi x)+1=0$ (5)
$sin( \pi x)=-1/2 \newline
 \pi x=arcsin(-1/2)+2 \pi m=- \frac{ \pi }{6} +2 \pi m \newline$
$x=- \frac{1}{6} +2m$ (6) где m целое.
А также
$\pi x= \pi -arcsin(-1/2)+2 \pi l= \pi+ \frac{\pi}{6} +2 \pi l \\ \\ 
 x= 1+ \frac{1}{6} +2 l= \frac{7}{6}+2l$

$x= \frac{7}{6} +2l$ (6a)
Где l - целое.

Все наборы корней нашли. Осталось выделить те из них, которые попадают в отрезок [-1; 1]
Итак из набора (4)
$-1\leq \frac{1}{2}+k \leq 1$
$-1-\frac{1}{2}\leq k \leq 1-\frac{1}{2} \newline \newline
-\frac{3}{2}\leq k \leq \frac{1}{2}$
k=0 x₀=1/2
k=-1 x₋₁ = -1/2
Из набора (6)
$-1 \leq - \frac{1}{6} +2m \leq 1 \newline \newline
 -1+ \frac{1}{6} \leq 2m \leq 1+ \frac{1}{6} \newline \newline
- \frac{5}{12} \leq m \leq \frac{7}{12}$
m=0 x₃=-1/6

Из набора (6а)
$-1 \leq \frac{7}{6} +2l \leq 1 \\ \\ -1 -\frac{7}{6}\leq 2l \leq 1-\frac{7}{6} \\ \\ 
 -\frac{13}{6}\leq 2l \leq -\frac{1}{6} \\ \\ -1\frac{1}{12}\leq l \leq -\frac{1}{12}$
l=-1