Решите уравнение и рассмотрим, как отдельные ф-ии. ф-я возрастающая и имеет смысл при x> =0, y=x^2 тоже возрастающая ф-я. по св-ву монотонных ф-ий функция y=√x+x^2 возрастающая. значит корень у такой ф-ии один. в данном случае подходит x=4. ответ: x=4

Ответы

areg122004 03.10.2020 13:42

$\sqrt x+x^2=18$

ОДЗ: $x\geqslant0$

$\sqrt x=t, \ \ t\geqslant0\\\\
t+t^4=18\\\\
t^4+t-18=0$

Рассмотрим целые числители свободного члена 18:

$\pm1;\pm2;\pm3;\pm6;\pm9;\pm18$

Подставляем в уравнение по порядку, пока не найдем нужное нам число.

$t=1& \Rightarrow&1+1-18\neq0\\
t=-1 &\Rightarrow&1-1-18\neq0\\
t=2&\Rightarrow&16+2-18=0$

$\boxed{t_1=2}$ является корнем

Значит,

(t^4+t-18):(t-2)

делится без остатка

Делим в столбик:

$\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{rrrrr@{\,}r|l}
t^4&&&+t&-18&&\,t-2\\
\cline{7-7}
t^4&-2t^3&&&&&\,t^3+2t^2+4t+9\\
\cline{1-2}
&2t^3&+t&-18&\,\\
&2t^3&-4t^2&&\\
\cline{2-3}
&&4t^2&+t&-18\,\\
&&4t^2&-8t&\\
\cline{3-4}
&&&9t&-18\,\\
&&&9t&-1\\
\cline{4-5}
&&&&0\\
\end{array}$

$t_4+t-18 \Longrightarrow(t-2)(t^3+2t^2+4t+9)=0$

Ищем целочисленные корни кубического многочлена:

$9: \ \pm1; \pm3;\pm9$

$\pm1$ мы проверяли, не подходило

$t=3\Rightarrow 27+2\cdot9+4\cdot3+9\neq0$

Вообще, очевидно, что $t\ \textgreater \ 0$ не подходит сразу, поэтому t=9

не проверяем.

$t=-3\Rightarrow-27+2\cdot9-12+9=-12\neq0\\\\
t=-9\Rightarrow(-9)^3+2\cdot(-9)^2-4\cdot9+9=-729+162-36+9\neq0$

Таким образом, целочисленных решений нет, а дробные не подходят в начальном уравнении

$t=2\Rightarrow x=t^2=\boxed{4}$

Исследуем графически:

$\sqrt x+x^2=18\\
\sqrt x=18-x^2$

График прилагается

Решением является x=4