Решите уравнение : 4sin^2(x-pi\2)=ctg и найдите корни на промежутке от (-5пи ; -4пи) 50 !

4sin^2(2x+pi/3)=1

sin^2(2x+pi/3)=1/4

пусть  2x+pi/3=t

sin^2t=1/4

sint=+-1/2

1)sint=-1/2

t=-pi/6+2pik . k=z

t=-5pi/6+2pik . k=z

2)sint=1/2

t=pi/6+2pik . k=z

t=5pi/6+2pik . k=z

 

найдем x:

1)2x+pi/3=-pi/6+2pik

2x=-pi/2+2pik

x=-pi/4+pik

2)2x+pi/3=-5pi/6+2pik

2x=-11pi/6+2pik

x=-11pi/12+pik

3)2x+pi/3=pi/6+2pik

2x=-pi/6+2pik

x=-pi/12+pik

4)2x+pi/3=5pi/6+2pik

2x=pi/6+2pik

x=pi/12+pik

объеденим решения: x=-pi/12+pik/2 ; x=-pi/4+pik/2

подробнее - на -

Для начала, давайте займемся уравнением:

4sin^2(x-pi/2) = ctg(x)

Чтобы решить это уравнение, нам понадобится преобразовать его и использовать свойства тригонометрии.

Первым делом, воспользуемся тождеством: ctg(x) = 1/tan(x).

Тогда наше уравнение станет:

4sin^2(x-pi/2) = 1/tan(x)

Далее, преобразуем левую часть. Воспользуемся тождеством: sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Тогда наше уравнение можно переписать следующим образом:

4(1 - cos^2(x-pi/2)) = 1/tan(x)

Раскроем скобки:

4 - 4cos^2(x-pi/2) = 1/tan(x)

Далее, заменим tan(x) на sin(x)/cos(x):

4 - 4cos^2(x-pi/2) = 1/(sin(x)/cos(x))

Упростим обе стороны уравнения, чтобы избавиться от дроби:

4 - 4cos^2(x-pi/2) = cos(x)/sin(x)

Перепишем cos(x)/sin(x) в виде ctg(x):

4 - 4cos^2(x-pi/2) = ctg(x)

Теперь у нас получилось уравнение, которое мы можем решить. Давайте посмотрим на промежуток (-5пи ; -4пи) и найдем его корни.

Для начала, давайте проверим, существуют ли корни на этом промежутке. Для этого посмотрим на интервал (-5пи ; -4пи) и определим значения ctg(x) на этом промежутке.

Воспользуемся свойством ctg(x), которое можно записать как ctg(x) = 1/tan(x). Тогда ctg(x) определен на интервалах (2nπ ; (2n + π)), где n - целое число.

Так как наш промежуток (-5пи ; -4пи), то n должно быть равным -3.

Таким образом, у нас получается интервал (-4пи ; -3пи), на котором ctg(x) определен и мы можем применить его к уравнению.

Теперь, чтобы найти корни уравнения, давайте решим его пошагово.

4 - 4cos^2(x-pi/2) = ctg(x)

Подставим значение ctg(x):

4 - 4cos^2(x-pi/2) = 1/tan(x)

Перепишем tan(x) в виде sin(x)/cos(x):

4 - 4cos^2(x-pi/2) = 1/(sin(x)/cos(x))

Упростим дробь:

4 - 4cos^2(x-pi/2) = cos(x)/sin(x)

Перепишем cos(x)/sin(x) в виде ctg(x):

4 - 4cos^2(x-pi/2) = ctg(x)

Теперь, давайте присвоим другую переменную, например y:

y = x - pi/2

Тогда у нас получается:

4 - 4cos^2(y) = ctg(y + pi/2)

Посмотрим на ctg(y + pi/2):

ctg(y + pi/2) = -tan(y)

Теперь, вернемся к уравнению:

4 - 4cos^2(y) = -tan(y)

Перепишем -tan(y) в виде -sin(y)/cos(y):

4 - 4cos^2(y) = -sin(y)/cos(y)

Умножим обе части уравнения на cos(y) для того, чтобы избавиться от дроби:

4cos(y) - 4cos^3(y) = -sin(y)

Теперь, давайте приведем все к общему знаменателю, чтобы упростить уравнение:

4cos(y) - 4cos^3(y) = -sin(y)
4cos^3(y) - 4cos(y) - sin(y) = 0

Теперь, мы получили уравнение, которое мы можем решить. Для этого, нам понадобится использовать численные методы или графический метод решения.

Если вы не знакомы с численными методами или графическим решением, я могу рассказать вам о них.

Потому что проанализировать уравнение и найти его корни аналитически на данном промежутке может быть достаточно сложно и затруднительно быть понятным школьнику.

Графический метод решения заключается в построении графика функции y = 4cos^3(y) - 4cos(y) - sin(y) и определении его корней на промежутке (-5пи ; -4пи).

Таким образом, чтобы найти корни уравнения, нужно:

1. Преобразовать уравнение с использованием свойств тригонометрии и тождеств.
2. Проверить, существуют ли корни на заданном промежутке с использованием определений тригонометрических функций.
3. Решить уравнение численными или графическими методами.

Надеюсь, что этот ответ достаточно подробный и понятный! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!